微积分学示例

$\frac{1}{2} \cdot (x e^{\frac{- 1}{2} x})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot (x e^{- \frac{1}{2} x})]$

解题步骤 1.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot (x e^{- \frac{x}{2}})]$

解题步骤 1.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}}]$

解题步骤 1.2.3

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $e^{- \frac{x}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 1.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{x}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{2} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $- \frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

组合 $e^{- \frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 4.6

将 $e^{- \frac{x}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

解题步骤 5.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- \frac{x}{2}}$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

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