微积分学示例

$\sqrt{x^{7}}$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{7}}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.1

将 $x^{7}$ 重写为 ${(x^{3})}^{2} x$ 。

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解题步骤 1.1.1

因式分解出 $x^{6}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{6} x}]$

解题步骤 1.1.2

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{3})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x^{3})}^{2} x}]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [x^{3 + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6 + 1}{2}}]$

解题步骤 3.5.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{7}{2}$ 。

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}$

解题步骤 8.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 9

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

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