微积分学示例

$y = \sqrt{x + 11}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 11}$ 重写成 ${(x + 11)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 11)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 11$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 11$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 1.2.3

使用 $x + 11$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(x + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $x + 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (11))$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (11))$

解题步骤 1.10

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

解题步骤 1.11

化简表达式。

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解题步骤 1.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.11.2

将 $\frac{1}{2 {(x + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 {(x + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 11)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 11)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${({(x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

解题步骤 2.1.2.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 11)}^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 2.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 11)}^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 11$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 11$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 2.2.3

使用 $x + 11$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 2.6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 2.7.2

组合 ${(x + 11)}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x + 11)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 2.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 11)}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x + 11)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 2.7.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x + 11)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 {(x + 11)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 2.7.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 11)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x + 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 11)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (11))$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 11)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (11))$

解题步骤 2.10

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 11)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + 0)$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 11)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 11)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{4 {(x + 11)}^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 11)}^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 11)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x + 11)}^{\frac{3}{2}}}$ 重写为 ${({(x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {({(x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

将 ${({(x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 11)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.1.2.2.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.1.2.2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 11)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

解题步骤 3.1.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 11)}^{\frac{- 3}{2}}$

解题步骤 3.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 11)}^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x + 11$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 11$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.2.3

使用 $x + 11$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.6.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.7.2

组合 ${(x + 11)}^{- \frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{{(x + 11)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.7.3

化简表达式。

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解题步骤 3.7.3.1

将 $3$ 移到 ${(x + 11)}^{- \frac{5}{2}}$ 的左侧。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 \cdot {(x + 11)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.7.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 11)}^{- \frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot (\frac{3}{2 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.7.3.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{3}{2 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 3.7.4

将 $\frac{3}{2 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$f''' (x) = \frac{3}{2 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 3.7.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 3.8

根据加法法则， $x + 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$ 。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (11))$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (11))$

解题步骤 3.10

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + 0)$

解题步骤 3.11

化简表达式。

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解题步骤 3.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 3.11.2

将 $\frac{3}{8 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1

因为 $\frac{3}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{8 {(x + 11)}^{\frac{5}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 11)}^{\frac{5}{2}}}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 11)}^{\frac{5}{2}}})$

解题步骤 4.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x + 11)}^{\frac{5}{2}}}$ 重写为 ${({(x + 11)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 11)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

解题步骤 4.1.2.2

将 ${({(x + 11)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 11)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

解题步骤 4.1.2.2.2

乘以 $\frac{5}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.2.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 11)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 11)}^{\frac{- 5}{2}})$

解题步骤 4.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 11)}^{- \frac{5}{2}})$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ 且 $g (x) = x + 11$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 11$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{5}{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.2.3

使用 $x + 11$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.6.2

从 $- 5$ 中减去 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 11)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 11)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.7.2

组合 ${(x + 11)}^{- \frac{7}{2}}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{{(x + 11)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.7.3

化简表达式。

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解题步骤 4.7.3.1

将 $5$ 移到 ${(x + 11)}^{- \frac{7}{2}}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 \cdot {(x + 11)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.7.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 11)}^{- \frac{7}{2}}$ 移动到分母。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2 {(x + 11)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11))$

解题步骤 4.7.4

将 $\frac{3}{8}$ 乘以 $\frac{5}{2 {(x + 11)}^{\frac{7}{2}}}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{3 \cdot 5}{8 (2 {(x + 11)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 4.7.5

乘。

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解题步骤 4.7.5.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{8 (2 {(x + 11)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 4.7.5.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 11)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 11)$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $x + 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 11)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (11))$

解题步骤 4.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 11)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (11))$

解题步骤 4.10

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 11)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + 0)$

解题步骤 4.11

化简表达式。

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解题步骤 4.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 11)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 4.11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 11)}^{\frac{7}{2}}}$

微积分学 示例

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