微积分学 示例

用洛必达法则求值 当 x 趋于 pi/2 时,(cos(x))/(1-sin(x)) 的极限
解题步骤 1
计算分子和分母的极限值。
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解题步骤 1.1
取分子和分母极限值。
解题步骤 1.2
计算分子的极限值。
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解题步骤 1.2.1
把极限移到三角函数里,因为余弦是连续的。
解题步骤 1.2.2
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 1.2.3
的准确值为
解题步骤 1.3
计算分母的极限值。
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解题步骤 1.3.1
计算极限值。
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解题步骤 1.3.1.1
趋于 时,利用极限的加法法则来分解极限。
解题步骤 1.3.1.2
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 1.3.1.3
把极限移到三角函数里,因为正弦是连续的。
解题步骤 1.3.2
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 1.3.3
化简答案。
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解题步骤 1.3.3.1
化简每一项。
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解题步骤 1.3.3.1.1
的准确值为
解题步骤 1.3.3.1.2
乘以
解题步骤 1.3.3.2
中减去
解题步骤 1.3.3.3
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 1.3.4
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 1.4
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 2
因为 是不定式,所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明,函数的商的极限等于它们导数的商的极限。
解题步骤 3
求分子和分母的导数。
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解题步骤 3.1
对分子和分母进行求导。
解题步骤 3.2
的导数为
解题步骤 3.3
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 3.4
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 3.5
计算
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解题步骤 3.5.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 3.5.2
的导数为
解题步骤 3.6
中减去
解题步骤 4
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 5
转换成
解题步骤 6
考虑左极限。
解题步骤 7
的值从左侧趋于 时,函数值无限递增。
解题步骤 8
考虑右极限。
解题步骤 9
的值从右侧趋于 时,函数值无限递减。
解题步骤 10
因为左极限和右极限不相等,所以极限不存在。