微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 2

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 3

将极限移入根号内。

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 4

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 4.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{8}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 5.1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.1.2

从根式下提出各项。

$\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.3

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.3.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 5.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 5.3.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 5.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.3.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 5.3.7.5

计算指数。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{4}$

小数形式：

$0.73519360 \dots$

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