微积分学示例

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$12 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$12 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3.3.3

将负号移到分数的前面。

$12 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 12 \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $12$ 和 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{12 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

解题步骤 8.2.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{24 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 8.2.4

从 $24 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

解题步骤 8.2.5

约去公因数。

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解题步骤 8.2.5.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

解题步骤 8.2.5.2

约去公因数。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

解题步骤 8.2.5.3

重写表达式。

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

解题步骤 8.2.5.4

用 $8 x^{\frac{3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$24 x^{\frac{1}{2}} + 8 x^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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