微积分学示例

$\int (1 + 3 t) t^{2} d t$

解题步骤 1

展开 $(1 + 3 t) t^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int 1 t^{2} + 3 t \cdot t^{2} d t$

解题步骤 1.2

将 $t^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int t^{2} + 3 t \cdot t^{2} d t$

解题步骤 1.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int t^{2} + 3 (t^{1} t^{2}) d t$

解题步骤 1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int t^{2} + 3 t^{1 + 2} d t$

解题步骤 1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int t^{2} + 3 t^{3} d t$

解题步骤 1.6

将 $t^{2}$ 和 $3 t^{3}$ 重新排序。

$\int 3 t^{3} + t^{2} d t$

$\int 3 t^{3} + t^{2} d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 t^{3} d t + \int t^{2} d t$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int t^{3} d t + \int t^{2} d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{3}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{4} t^{4}$ 。

$3 (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \int t^{2} d t$

解题步骤 5

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{3} t^{3} + C$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $t^{4}$ 。

$3 (\frac{t^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} t^{3} + C$

解题步骤 6.2

化简。

$\frac{3 t^{4}}{4} + \frac{1}{3} t^{3} + C$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{3}{4} t^{4} + \frac{1}{3} t^{3} + C$

$\frac{3}{4} t^{4} + \frac{1}{3} t^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$