微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 5 \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $5 \sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $5 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $25 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 25$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $25 \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(5 \tan (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2

约去 $5 \tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $5 \sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $5 \tan (t)$ 。

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\int \sec (t) d t$

解题步骤 3

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

解题步骤 4

使用 $arcsec (\frac{x}{5})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x}{5})) |) + C$

解题步骤 5

重新排序项。

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{5} x)) + \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) |) + C$

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