微积分学示例

$\int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 5}{x^{4}} d x$

解题步骤 1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4} d x$

解题步骤 3

展开 $(x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int (x^{4} - 3 x^{2}) x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int x^{4} x^{- 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4 - 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.4

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\int x^{0} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int 1 - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 - 3 x^{2 - 4} + 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.7

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\int 1 - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.8

将 $1$ 和 $- 3 x^{- 2}$ 重新排序。

$\int - 3 x^{- 2} + 1 + 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.9

移动 $1$ 。

$\int - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} + 1 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

解题步骤 5

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

解题步骤 7

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 \int x^{- 4} d x + \int d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int d x$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int d x$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + x + C$

解题步骤 11

化简。

$\frac{3}{x} - \frac{5}{3 x^{3}} + x + C$

微积分学 示例

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