微积分学示例

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

解题步骤 2.2.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

解题步骤 2.2.1.4

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.5

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 2.2.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 2.2.2.2

将 ${\sec (t)}^{2 + 2}$ 重写为 $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ 。

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 3

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (t)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (t)$ 的形式。

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 4

使 $u = \tan (t)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \tan (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\tan (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

解题步骤 4.1.2

$\tan (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ 。

$\sec^{2} (t)$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

解题步骤 5

乘以 $(1 + u^{2}) u^{2}$ 。

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $\tan (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

解题步骤 11.2

使用 $arcsec (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$

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