微积分学示例

$\int arcsec (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = arcsec (x)$ ， $d v = 1$ 。

$arcsec (x) x - \int x \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ 。

$arcsec (x) x - \int \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 2.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$arcsec (x) x - \int \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 3

使 $x = \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简 $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用勾股恒等式。

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.2

约去 $\tan (t)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

从 $\sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $\tan (t)$ 。

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$arcsec (x) x - \int \sec (t) d t$

解题步骤 5

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$arcsec (x) x - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

解题步骤 6

化简。

$arcsec (x) x - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

解题步骤 7

使用 $arcsec (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$arcsec (x) x - \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$

微积分学 示例

微积分学示例