微积分学示例

$\int_{a}^{b} 5 e^{4 t} d t$

解题步骤 1

由于 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{a}^{b} e^{4 t} d t$

解题步骤 2

使 $u = 4 t$ 。然后使 $d u = 4 d t$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 4 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $4 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [4 t]$

解题步骤 2.1.2

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$4 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 4 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 4 a$

解题步骤 2.3

将上限代入替换 $u = 4 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 4 b$

解题步骤 2.4

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4 a$

$u_{upper} = 4 b$

解题步骤 2.5

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$5 \int_{4 a}^{4 b} e^{u} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$5 \int_{4 a}^{4 b} \frac{e^{u}}{4} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{4} \int_{4 a}^{4 b} e^{u} d u)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{4} \int_{4 a}^{4 b} e^{u} d u$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{5}{4} e^{u}]_{4 a}^{4 b}$

解题步骤 7

计算 $e^{u}$ 在 $4 b$ 处和在 $4 a$ 处的值。

$\frac{5}{4} (e^{4 b} - e^{4 a})$

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