微积分学示例

$\int x \arcsin (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arcsin (x)$ ， $d v = x$ 。

$\arcsin (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\arcsin (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\arcsin (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

解题步骤 4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 5

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

化简 $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 6.1.1

使用勾股恒等式。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 6.2

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \sin^{2} (t) d t$

解题步骤 7

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (t)$ 的形式。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 13

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 13.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 13.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 13.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 13.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 13.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 13.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 14

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 15

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 16

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 17

化简。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 18

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 18.1

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 18.2

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

解题步骤 18.3

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

组合 $\sin (2 \arcsin (x))$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

解题步骤 19.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} \arcsin (x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

解题步骤 19.3

组合 $\arcsin (x)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

解题步骤 19.4

乘以 $- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ 。

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解题步骤 19.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

解题步骤 19.4.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

解题步骤 19.4.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 19.4.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

解题步骤 19.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arcsin (x)$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{2} x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

解题步骤 19.6

组合 $\frac{\arcsin (x)}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

将 $\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{2} \arcsin (x)}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

解题步骤 20.2

重新排序项。

$\frac{1}{2} x^{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \arcsin (x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

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