微积分学示例

$\int x {(2 x + 5)}^{8} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用二项式定理。

$\int x ({(2 x)}^{8} + 8 {(2 x)}^{7} \cdot 5 + 28 {(2 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\int x (2^{8} x^{8} + 8 {(2 x)}^{7} \cdot 5 + 28 {(2 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.2

对 $2$ 进行 $8$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 8 {(2 x)}^{7} \cdot 5 + 28 {(2 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.3

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\int x (256 x^{8} + 8 (2^{7} x^{7}) \cdot 5 + 28 {(2 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.4

对 $2$ 进行 $7$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 8 (128 x^{7}) \cdot 5 + 28 {(2 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.5

将 $128$ 乘以 $8$ 。

$\int x (256 x^{8} + 1024 x^{7} \cdot 5 + 28 {(2 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.6

将 $5$ 乘以 $1024$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 28 {(2 x)}^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.7

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 28 (2^{6} x^{6}) \cdot 5^{2} + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.8

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 28 (64 x^{6}) \cdot 5^{2} + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.9

将 $64$ 乘以 $28$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 1792 x^{6} \cdot 5^{2} + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.10

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 1792 x^{6} \cdot 25 + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.11

将 $25$ 乘以 $1792$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 56 {(2 x)}^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.12

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 56 (2^{5} x^{5}) \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.13

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 56 (32 x^{5}) \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.14

将 $32$ 乘以 $56$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 1792 x^{5} \cdot 5^{3} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.15

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 1792 x^{5} \cdot 125 + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.16

将 $125$ 乘以 $1792$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 70 {(2 x)}^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.17

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 70 (2^{4} x^{4}) \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.18

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 70 (16 x^{4}) \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.19

将 $16$ 乘以 $70$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 1120 x^{4} \cdot 5^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.20

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 1120 x^{4} \cdot 625 + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.21

将 $625$ 乘以 $1120$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 56 {(2 x)}^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.22

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 56 (2^{3} x^{3}) \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.23

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 56 (8 x^{3}) \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.24

将 $8$ 乘以 $56$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 448 x^{3} \cdot 5^{5} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.25

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 448 x^{3} \cdot 3125 + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.26

将 $3125$ 乘以 $448$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 1400000 x^{3} + 28 {(2 x)}^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.27

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 1400000 x^{3} + 28 (2^{2} x^{2}) \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.28

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 1400000 x^{3} + 28 (4 x^{2}) \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.29

将 $4$ 乘以 $28$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 1400000 x^{3} + 112 x^{2} \cdot 5^{6} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.30

对 $5$ 进行 $6$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 1400000 x^{3} + 112 x^{2} \cdot 15625 + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.31

将 $15625$ 乘以 $112$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 1400000 x^{3} + 1750000 x^{2} + 8 (2 x) \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.32

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 1400000 x^{3} + 1750000 x^{2} + 16 x \cdot 5^{7} + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.33

对 $5$ 进行 $7$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 1400000 x^{3} + 1750000 x^{2} + 16 x \cdot 78125 + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.34

将 $78125$ 乘以 $16$ 。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 1400000 x^{3} + 1750000 x^{2} + 1250000 x + 5^{8}) d x$

解题步骤 1.2.35

对 $5$ 进行 $8$ 次方运算。

$\int x (256 x^{8} + 5120 x^{7} + 44800 x^{6} + 224000 x^{5} + 700000 x^{4} + 1400000 x^{3} + 1750000 x^{2} + 1250000 x + 390625) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int x (256 x^{8}) + x (5120 x^{7}) + x (44800 x^{6}) + x (224000 x^{5}) + x (700000 x^{4}) + x (1400000 x^{3}) + x (1750000 x^{2}) + x (1250000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{8} + x (5120 x^{7}) + x (44800 x^{6}) + x (224000 x^{5}) + x (700000 x^{4}) + x (1400000 x^{3}) + x (1750000 x^{2}) + x (1250000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{8} + 5120 x \cdot x^{7} + x (44800 x^{6}) + x (224000 x^{5}) + x (700000 x^{4}) + x (1400000 x^{3}) + x (1750000 x^{2}) + x (1250000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{8} + 5120 x \cdot x^{7} + 44800 x \cdot x^{6} + x (224000 x^{5}) + x (700000 x^{4}) + x (1400000 x^{3}) + x (1750000 x^{2}) + x (1250000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{8} + 5120 x \cdot x^{7} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + x (700000 x^{4}) + x (1400000 x^{3}) + x (1750000 x^{2}) + x (1250000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.5

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{8} + 5120 x \cdot x^{7} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + x (1400000 x^{3}) + x (1750000 x^{2}) + x (1250000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.6

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{8} + 5120 x \cdot x^{7} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + x (1750000 x^{2}) + x (1250000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.7

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{8} + 5120 x \cdot x^{7} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + x (1250000 x) + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.8

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{8} + 5120 x \cdot x^{7} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + x \cdot 390625 d x$

解题步骤 1.4.9

将 $390625$ 移到 $x$ 的左侧。

$\int 256 x \cdot x^{8} + 5120 x \cdot x^{7} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{8}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

移动 $x^{8}$ 。

$\int 256 (x^{8} x) + 5120 x \cdot x^{7} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.1.2

将 $x^{8}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 (x^{8} x^{1}) + 5120 x \cdot x^{7} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 x^{8 + 1} + 5120 x \cdot x^{7} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.1.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\int 256 x^{9} + 5120 x \cdot x^{7} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{7}$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

移动 $x^{7}$ 。

$\int 256 x^{9} + 5120 (x^{7} x) + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.2.2

将 $x^{7}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 x^{9} + 5120 (x^{7} x^{1}) + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{7 + 1} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.2.3

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x \cdot x^{6} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

移动 $x^{6}$ 。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 (x^{6} x) + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.3.2

将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 (x^{6} x^{1}) + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{6 + 1} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.3.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x \cdot x^{5} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

移动 $x^{5}$ 。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 (x^{5} x) + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.4.2

将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 (x^{5} x^{1}) + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{5 + 1} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.4.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x \cdot x^{4} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.5.5.1

移动 $x^{4}$ 。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 (x^{4} x) + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.5.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 (x^{4} x^{1}) + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{4 + 1} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.5.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x \cdot x^{3} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.5.6.1

移动 $x^{3}$ 。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 (x^{3} x) + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.6.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 (x^{3} x^{1}) + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{3 + 1} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{4} + 1750000 x \cdot x^{2} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{4} + 1750000 (x^{2} x) + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.7.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{4} + 1750000 (x^{2} x^{1}) + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{4} + 1750000 x^{2 + 1} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

解题步骤 1.5.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{4} + 1750000 x^{3} + 1250000 x \cdot x + 390625 \cdot x d x$

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{4} + 1750000 x^{3} + 1250000 x \cdot x + 390625 x d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{4} + 1750000 x^{3} + 1250000 (x^{1} x) + 390625 x d x$

解题步骤 2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{4} + 1750000 x^{3} + 1250000 (x^{1} x^{1}) + 390625 x d x$

解题步骤 2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{4} + 1750000 x^{3} + 1250000 x^{1 + 1} + 390625 x d x$

解题步骤 2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{4} + 1750000 x^{3} + 1250000 x^{2} + 390625 x d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 256 x^{9} d x + \int 5120 x^{8} d x + \int 44800 x^{7} d x + \int 224000 x^{6} d x + \int 700000 x^{5} d x + \int 1400000 x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 4

由于 $256$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $256$ 移到积分外。

$256 \int x^{9} d x + \int 5120 x^{8} d x + \int 44800 x^{7} d x + \int 224000 x^{6} d x + \int 700000 x^{5} d x + \int 1400000 x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{9}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{10} x^{10}$ 。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + \int 5120 x^{8} d x + \int 44800 x^{7} d x + \int 224000 x^{6} d x + \int 700000 x^{5} d x + \int 1400000 x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 6

由于 $5120$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5120$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 \int x^{8} d x + \int 44800 x^{7} d x + \int 224000 x^{6} d x + \int 700000 x^{5} d x + \int 1400000 x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{8}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{9} x^{9}$ 。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + \int 44800 x^{7} d x + \int 224000 x^{6} d x + \int 700000 x^{5} d x + \int 1400000 x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 8

由于 $44800$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $44800$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 \int x^{7} d x + \int 224000 x^{6} d x + \int 700000 x^{5} d x + \int 1400000 x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{7}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{8} x^{8}$ 。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int 224000 x^{6} d x + \int 700000 x^{5} d x + \int 1400000 x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 10

由于 $224000$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $224000$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 \int x^{6} d x + \int 700000 x^{5} d x + \int 1400000 x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int 700000 x^{5} d x + \int 1400000 x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 12

由于 $700000$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $700000$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 700000 \int x^{5} d x + \int 1400000 x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 700000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 1400000 x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 14

由于 $1400000$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $1400000$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 700000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 1400000 \int x^{4} d x + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 15

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 700000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 1400000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 1750000 x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 16

由于 $1750000$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $1750000$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 700000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 1400000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 1750000 \int x^{3} d x + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 17

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 700000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 1400000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 1750000 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 1250000 x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 18

由于 $1250000$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $1250000$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 700000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 1400000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 1750000 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 1250000 \int x^{2} d x + \int 390625 x d x$

解题步骤 19

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 700000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 1400000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 1750000 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 1250000 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 390625 x d x$

解题步骤 20

由于 $390625$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $390625$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 700000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 1400000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 1750000 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 1250000 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 390625 \int x d x$

解题步骤 21

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$256 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 5120 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 44800 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 224000 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 700000 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 1400000 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 1750000 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 1250000 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 390625 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 22

化简。

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解题步骤 22.1

化简。

$\frac{128 x^{10}}{5} + \frac{5120 x^{9}}{9} + 5600 x^{8} + 32000 x^{7} + \frac{350000 x^{6}}{3} + 280000 x^{5} + 437500 x^{4} + \frac{1250000 x^{3}}{3} + 390625 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 22.2

化简。

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解题步骤 22.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{128 x^{10}}{5} + \frac{5120 x^{9}}{9} + 5600 x^{8} + 32000 x^{7} + \frac{350000 x^{6}}{3} + 280000 x^{5} + 437500 x^{4} + \frac{1250000 x^{3}}{3} + 390625 \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 22.2.2

组合 $390625$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{128 x^{10}}{5} + \frac{5120 x^{9}}{9} + 5600 x^{8} + 32000 x^{7} + \frac{350000 x^{6}}{3} + 280000 x^{5} + 437500 x^{4} + \frac{1250000 x^{3}}{3} + \frac{390625 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 22.3

重新排序项。

$\frac{128}{5} x^{10} + \frac{5120}{9} x^{9} + 5600 x^{8} + 32000 x^{7} + \frac{350000}{3} x^{6} + 280000 x^{5} + 437500 x^{4} + \frac{1250000}{3} x^{3} + \frac{390625}{2} x^{2} + C$

微积分学 示例

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