微积分学示例

$\int_{0}^{1} x^{11} {(1 + x^{12})}^{11} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + x^{12}$ 。然后使 $d u = 12 x^{11} d x$ ，以便 $\frac{1}{12} d u = x^{11} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + x^{12}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + x^{12}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{12}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $1 + x^{12}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 12$ 。

$0 + 12 x^{11}$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $12 x^{11}$ 相加。

$12 x^{11}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + x^{12}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 0^{12}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + x^{12}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 1^{12}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} u^{11} \frac{1}{12} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{11}$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{u^{11}}{12} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{12}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{12}$ 移到积分外。

$\frac{1}{12} \int_{1}^{2} u^{11} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{11}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{12} u^{12}$ 。

$\frac{1}{12} \frac{1}{12} u^{12}]_{1}^{2}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{12} u^{12}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{12} \cdot 2^{12}) - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $2$ 进行 $12$ 次方运算。

$\frac{1}{12} (\frac{1}{12} \cdot 4096 - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{12}$ 和 $4096$ 。

$\frac{1}{12} (\frac{4096}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

解题步骤 5.2.3

约去 $4096$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $4096$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{12} (\frac{4 (1024)}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

解题步骤 5.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

解题步骤 5.2.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1)$

解题步骤 5.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12})$

解题步骤 5.2.6

要将 $\frac{1024}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{12})$

解题步骤 5.2.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $\frac{1024}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12})$

解题步骤 5.2.7.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{12} - \frac{1}{12})$

解题步骤 5.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1024 \cdot 4 - 1}{12}$

解题步骤 5.2.9

化简分子。

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解题步骤 5.2.9.1

将 $1024$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4096 - 1}{12}$

解题步骤 5.2.9.2

从 $4096$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4095}{12}$

解题步骤 5.2.10

约去 $4095$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.10.1

从 $4095$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 (1365)}{12}$

解题步骤 5.2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.10.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

解题步骤 5.2.10.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

解题步骤 5.2.10.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1365}{4}$

解题步骤 5.2.11

将 $\frac{1}{12}$ 乘以 $\frac{1365}{4}$ 。

$\frac{1365}{12 \cdot 4}$

解题步骤 5.2.12

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1365}{48}$

解题步骤 5.2.13

约去 $1365$ 和 $48$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.13.1

从 $1365$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (455)}{48}$

解题步骤 5.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.13.2.1

从 $48$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

解题步骤 5.2.13.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

解题步骤 5.2.13.2.3

重写表达式。

$\frac{455}{16}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{455}{16}$

小数形式：

$28.4375$

带分数形式：

$28 \frac{7}{16}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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