微积分学示例

$\int_{0}^{1} e^{- 4 x} d x$

解题步骤 1

使 $u = - 4 x$ 。然后使 $d u = - 4 d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = - 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $- 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = - 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 4 \cdot 0$

解题步骤 1.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = - 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 4 \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = - 4$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 4$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int_{0}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

解题步骤 2.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{0}^{- 4} - \frac{e^{u}}{4} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{0}^{- 4} \frac{e^{u}}{4} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{4} \int_{0}^{- 4} e^{u} d u)$

解题步骤 5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 4}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $e^{u}$ 在 $- 4$ 处和在 $0$ 处的值。

$- \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{0})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$- \frac{1}{4} e^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

解题步骤 7.2

组合 $e^{- 4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{e^{- 4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

解题步骤 7.3

乘以 $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{e^{- 4}}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{e^{- 4}}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 7.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 4}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

小数形式：

$0.24542109 \dots$

解题步骤 9

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