微积分学示例

$\int_{0}^{3} (3 - t) \sqrt{t} d t$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{3} (3 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

解题步骤 2

展开 $(3 - t) t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

解题步骤 2.2

提取负因数。

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

解题步骤 2.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

解题步骤 2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 2.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

解题步骤 2.7

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{0}^{3} t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 5

根据幂法则， $t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 6

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $t^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 8

根据幂法则， $t^{\frac{3}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{3})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $t^{\frac{5}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$3 ((\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$3 (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $3^{1}$ 移动到分子。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.2

通过指数相加将 $3^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $3^{- 1}$ 。

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解题步骤 9.2.3.2.1

移动 $3^{- 1}$ 。

$3 (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.2.5

在公分母上合并分子。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.2.6

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.2.6.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.5.1

约去公因数。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.5.2

重写表达式。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.7

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.8

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.8.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.8.2.2

约去公因数。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.8.2.3

重写表达式。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.10

将 $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.11

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.12

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

解题步骤 9.2.3.13

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

解题步骤 9.2.3.14

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.14.1

约去公因数。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

解题步骤 9.2.3.14.2

重写表达式。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

解题步骤 9.2.3.15

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

解题步骤 9.2.3.16

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{5})$

解题步骤 9.2.3.17

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.17.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

解题步骤 9.2.3.17.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.17.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.3.17.2.2

约去公因数。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.3.17.2.3

重写表达式。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{1})$

解题步骤 9.2.3.17.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 0)$

解题步骤 9.2.3.18

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} + 0)$

解题步骤 9.2.3.19

将 $\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$ 和 $0$ 相加。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

解题步骤 9.2.3.20

要将 $6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

解题步骤 9.2.3.21

组合 $6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

解题步骤 9.2.3.22

在公分母上合并分子。

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5 - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

解题步骤 9.2.3.23

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

小数形式：

$4.15692193 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例