微积分学示例

$\int \frac{x^{2}}{x^{4} - 2 x^{2} - 8} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.1.1.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{u^{2} - 2 u - 8}$

解题步骤 1.1.1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $- 2$ 。

$- 4, 2$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x^{2}}{(u - 4) (u + 2)}$

解题步骤 1.1.1.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2}}{(x^{2} - 4) (x^{2} + 2)}$

解题步骤 1.1.1.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 2)}$

解题步骤 1.1.1.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{x^{2}}{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 2}$

解题步骤 1.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

解题步骤 1.1.4

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.5

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)$ 。

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.6

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

解题步骤 1.1.6.2

重写表达式。

$\frac{(x^{2} (x - 2)) (x^{2} + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.7

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} (x - 2) (x^{2} + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.7.2

重写表达式。

$\frac{(x^{2}) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.8

约去 $x^{2} + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.8.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.8.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9

化简每一项。

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解题步骤 1.1.9.1

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.9.1.1

约去公因数。

$x^{2} = \frac{A (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.1.2

用 $((A) (x - 2)) (x^{2} + 2)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = ((A) (x - 2)) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.2

运用分配律。

$x^{2} = (A x + A \cdot - 2) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.3

将 $- 2$ 移到 $A$ 的左侧。

$x^{2} = (A x - 2 \cdot A) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.4

使用 FOIL 方法展开 $(A x - 2 A) (x^{2} + 2)$ 。

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解题步骤 1.1.9.4.1

运用分配律。

$x^{2} = A x (x^{2} + 2) - 2 A (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.4.2

运用分配律。

$x^{2} = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 2 - 2 A (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.4.3

运用分配律。

$x^{2} = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.5

化简每一项。

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解题步骤 1.1.9.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.9.5.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} = A (x^{2} x) + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.5.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.9.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} = A (x^{2} x) + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} = A x^{2 + 1} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.5.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} = A x^{3} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.5.2

将 $2$ 移到 $A x$ 的左侧。

$x^{2} = A x^{3} + 2 \cdot (A x) - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.5.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.6

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.9.6.1

约去公因数。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.6.2

用 $(B) (x + 2) (x^{2} + 2)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B) (x + 2) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.7

运用分配律。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B x + B \cdot 2) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.8

将 $2$ 移到 $B$ 的左侧。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B x + 2 \cdot B) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.9

使用 FOIL 方法展开 $(B x + 2 B) (x^{2} + 2)$ 。

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解题步骤 1.1.9.9.1

运用分配律。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x (x^{2} + 2) + 2 B (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.9.2

运用分配律。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 2 + 2 B (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.9.3

运用分配律。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.10

化简每一项。

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解题步骤 1.1.9.10.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.9.10.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.10.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.9.10.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{2 + 1} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.10.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.10.2

将 $2$ 移到 $B x$ 的左侧。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 \cdot (B x) + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.10.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.11

约去 $x^{2} + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.9.11.1

约去公因数。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.9.11.2

用 $(C x + D) (x + 2) (x - 2)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x + D) (x + 2) (x - 2)$

解题步骤 1.1.9.12

使用 FOIL 方法展开 $(C x + D) (x + 2)$ 。

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解题步骤 1.1.9.12.1

运用分配律。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x (x + 2) + D (x + 2)) (x - 2)$

解题步骤 1.1.9.12.2

运用分配律。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x \cdot x + C x \cdot 2 + D (x + 2)) (x - 2)$

解题步骤 1.1.9.12.3

运用分配律。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x \cdot x + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

解题步骤 1.1.9.13

化简每一项。

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解题步骤 1.1.9.13.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.9.13.1.1

移动 $x$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C (x \cdot x) + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

解题步骤 1.1.9.13.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

解题步骤 1.1.9.13.2

将 $2$ 移到 $C x$ 的左侧。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + 2 \cdot (C x) + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

解题步骤 1.1.9.13.3

将 $2$ 移到 $D$ 的左侧。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + 2 C x + D x + 2 D) (x - 2)$

解题步骤 1.1.9.14

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(C x^{2} + 2 C x + D x + 2 D) (x - 2)$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + D x \cdot - 2 + 2 D x + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.15

合并 $C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + D x \cdot - 2 + 2 D x + 2 D \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.9.15.1

按照 $D x \cdot - 2$ 和 $2 D x$ 重新排列因数。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x - 2 D x + 2 D x + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.15.2

将 $- 2 D x$ 和 $2 D x$ 相加。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 0 + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.15.3

将 $C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.16

化简每一项。

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解题步骤 1.1.9.16.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.9.16.1.1

移动 $x$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.16.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.9.16.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.16.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{1 + 2} + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.16.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.16.2

将 $- 2$ 移到 $C x^{2}$ 的左侧。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 \cdot (C x^{2}) + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.16.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.9.16.3.1

移动 $x$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C (x \cdot x) + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.16.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.16.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.16.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.9.16.5.1

移动 $x$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D (x \cdot x) + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.16.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} + 2 D \cdot - 2$

解题步骤 1.1.9.16.6

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

解题步骤 1.1.9.17

合并 $C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.9.17.1

将 $- 2 C x^{2}$ 和 $2 C x^{2}$ 相加。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} + 0 - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

解题步骤 1.1.9.17.2

将 $C x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

解题步骤 1.1.10

化简表达式。

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解题步骤 1.1.10.1

移动 $A$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

解题步骤 1.1.10.2

移动 $A$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

解题步骤 1.1.10.3

将 $B$ 和 $x^{3}$ 重新排序。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

解题步骤 1.1.10.4

移动 $B$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

解题步骤 1.1.10.5

移动 $B$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

解题步骤 1.1.10.6

移动 $4 B$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.1.10.7

移动 $- 4 A$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.1.10.8

移动 $- 4 C x$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.1.10.9

移动 $2 x B$ 。

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.1.10.10

移动 $2 x A$ 。

$x^{2} = A x^{3} - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.1.10.11

移动 $2 x^{2} B$ 。

$x^{2} = A x^{3} - 2 x^{2} A + B x^{3} + C x^{3} + 2 x^{2} B + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.1.10.12

移动 $- 2 x^{2} A$ 。

$x^{2} = A x^{3} + B x^{3} + C x^{3} - 2 x^{2} A + 2 x^{2} B + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{3}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B + C$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = - 2 A + 2 B + D$

解题步骤 1.2.3

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

解题步骤 1.2.4

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.2.5

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B + C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = A + B + C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $0 = A + B + C$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $A + B + C = 0$ 。

$A + B + C = 0$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.1.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.1.2.1

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A + C = - B$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.1.2.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- B - C$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $- B - C$ 替换 $1 = - 2 A + 2 B + D$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = - 2 (- B - C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简 $- 2 (- B - C) + 2 B + D$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$1 = - 2 (- B) - 2 (- C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$1 = 2 B - 2 (- C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$1 = 2 B + 2 C + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 2 B + 2 C + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

将 $2 B$ 和 $2 B$ 相加。

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $- B - C$ 替换 $0 = 2 A + 2 B - 4 C$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = 2 (- B - C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.4.1

化简 $2 (- B - C) + 2 B - 4 C$ 。

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解题步骤 1.3.2.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.4.1.1.1

运用分配律。

$0 = 2 (- B) + 2 (- C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.4.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 = - 2 B + 2 (- C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.4.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 = - 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.4.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.3.2.4.1.2.1

合并 $- 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.2.4.1.2.1.1

将 $- 2 B$ 和 $2 B$ 相加。

$0 = - 2 C + 0 - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.4.1.2.1.2

将 $- 2 C$ 和 $0$ 相加。

$0 = - 2 C - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 2 C - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.4.1.2.2

从 $- 2 C$ 中减去 $4 C$ 。

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

解题步骤 1.3.2.5

使用 $- B - C$ 替换 $0 = - 4 A + 4 B - 4 D$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = - 4 (- B - C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.2.6

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.6.1

化简 $- 4 (- B - C) + 4 B - 4 D$ 。

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解题步骤 1.3.2.6.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.6.1.1.1

运用分配律。

$0 = - 4 (- B) - 4 (- C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.2.6.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$0 = 4 B - 4 (- C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.2.6.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$0 = 4 B + 4 C + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 4 B + 4 C + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.2.6.1.2

将 $4 B$ 和 $4 B$ 相加。

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.3

在 $0 = - 6 C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $- 6 C = 0$ 。

$- 6 C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 6 C = 0$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.2.1

将 $- 6 C = 0$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.3.1

用 $0$ 除以 $- 6$ 。

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $0$ 替换 $0 = 8 B + 4 C - 4 D$ 中所有出现的 $C$ .

$0 = 8 B + 4 (0) - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

化简 $8 B + 4 (0) - 4 D$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 = 8 B + 0 - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.4.2.1.2

将 $8 B$ 和 $0$ 相加。

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.4.3

使用 $0$ 替换 $1 = 4 B + 2 C + D$ 中所有出现的 $C$ .

$1 = 4 B + 2 (0) + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.4.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.4.1

化简 $4 B + 2 (0) + D$ 。

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解题步骤 1.3.4.4.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$1 = 4 B + 0 + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.4.4.1.2

将 $4 B$ 和 $0$ 相加。

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

解题步骤 1.3.4.5

使用 $0$ 替换 $A = - B - C$ 中所有出现的 $C$ .

$A = - B - (0)$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4.6

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.6.1

从 $- B$ 中减去 $0$ 。

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

解题步骤 1.3.5

在 $1 = 4 B + D$ 中求解 $D$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

将方程重写为 $4 B + D = 1$ 。

$4 B + D = 1$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

解题步骤 1.3.5.2

从等式两边同时减去 $4 B$ 。

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

解题步骤 1.3.6

将每个方程中所有出现的 $D$ 替换成 $1 - 4 B$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

使用 $1 - 4 B$ 替换 $0 = 8 B - 4 D$ 中所有出现的 $D$ .

$0 = 8 B - 4 (1 - 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.6.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.6.2.1

化简 $8 B - 4 (1 - 4 B)$ 。

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解题步骤 1.3.6.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.6.2.1.1.1

运用分配律。

$0 = 8 B - 4 \cdot 1 - 4 (- 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.6.2.1.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$0 = 8 B - 4 - 4 (- 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.6.2.1.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$0 = 8 B - 4 + 16 B$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 8 B - 4 + 16 B$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.6.2.1.2

将 $8 B$ 和 $16 B$ 相加。

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.7

在 $0 = 24 B - 4$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

将方程重写为 $24 B - 4 = 0$ 。

$24 B - 4 = 0$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.7.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$24 B = 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.7.3

将 $24 B = 4$ 中的每一项除以 $24$ 并化简。

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解题步骤 1.3.7.3.1

将 $24 B = 4$ 中的每一项都除以 $24$ 。

$\frac{24 B}{24} = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.7.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.7.3.2.1

约去 $24$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.7.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{24 B}{24} = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.7.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.7.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.7.3.3.1

约去 $4$ 和 $24$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.7.3.3.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$B = \frac{4 (1)}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.7.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.7.3.3.1.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$B = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.7.3.3.1.2.2

约去公因数。

$B = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.7.3.3.1.2.3

重写表达式。

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{1}{6}$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

使用 $\frac{1}{6}$ 替换 $D = 1 - 4 B$ 中所有出现的 $B$ .

$D = 1 - 4 (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.8.2.1

化简 $1 - 4 (\frac{1}{6})$ 。

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解题步骤 1.3.8.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.8.2.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.8.2.1.1.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$D = 1 + 2 (- 2) (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8.2.1.1.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$D = 1 + 2 \cdot (- 2 \frac{1}{2 \cdot 3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8.2.1.1.1.3

约去公因数。

$D = 1 + 2 \cdot (- 2 \frac{1}{2 \cdot 3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8.2.1.1.1.4

重写表达式。

$D = 1 - 2 (\frac{1}{3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = 1 - 2 (\frac{1}{3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8.2.1.1.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$D = 1 + \frac{- 2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8.2.1.1.3

将负号移到分数的前面。

$D = 1 - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = 1 - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 1.3.8.2.1.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$D = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$D = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8.2.1.2.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8.3

使用 $\frac{1}{6}$ 替换 $A = - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (\frac{1}{6})$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

解题步骤 1.3.8.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.8.4.1

将 $- 1$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

解题步骤 1.3.9

列出所有解。

$A = - \frac{1}{6}, D = \frac{1}{3}, B = \frac{1}{6}, C = 0$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的值。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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解题步骤 1.5.1.1

将 $\frac{0 \cdot x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{0 \cdot x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.5.1.2

合并。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + 2)}$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.4

化简分子。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.4.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.4.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.5

从 $3 x^{2} + 3 \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.5.5.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.5.2

从 $3 \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (2)}$

解题步骤 1.5.5.3

从 $3 (x^{2}) + 3 (2)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

解题步骤 1.5.6

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

解题步骤 1.5.7

将 $\frac{1}{x + 2}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$- \frac{1}{(x + 2) \cdot 6} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

解题步骤 1.5.8

将 $6$ 移到 $x + 2$ 的左侧。

$- \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

解题步骤 1.5.9

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

解题步骤 1.5.10

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{x - 2}$ 。

$\int - \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{1}{6 (x - 2)} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \frac{1}{6 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 2} d x) + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = x + 2$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = x + 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 5.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 2} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

解题步骤 8

使 $u_{2} = x - 2$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{2} = x - 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 8.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

解题步骤 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 11

将 $x^{2}$ 和 $2$ 重新排序。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{2 + x^{2}} d x$

解题步骤 12

将 $2$ 重写为 ${\sqrt{2}}^{2}$ 。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 13

$\frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$ 。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C)$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 和 $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ 。

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}} + C)$

解题步骤 14.2

化简。

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

解题步骤 14.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 。

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

解题步骤 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 15.1

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

解题步骤 15.2

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{6} \ln (| x - 2 |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

微积分学 示例

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