微积分学示例

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} + \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$5 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 6.2

计算 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$5 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.2

一的任意次幂都为一。

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.3

在公分母上合并分子。

$5 \frac{64 - 1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.4

从 $64$ 中减去 $1$ 。

$5 (\frac{63}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.5

约去 $63$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.5.1

从 $63$ 中分解出因数 $3$ 。

$5 \frac{3 \cdot 21}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.5.2.2

约去公因数。

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.5.2.3

重写表达式。

$5 (\frac{21}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.5.2.4

用 $21$ 除以 $1$ 。

$5 \cdot 21 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.6

将 $5$ 乘以 $21$ 。

$105 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$105 + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.8

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.9.1

约去公因数。

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.9.2

重写表达式。

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.10

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$105 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.11

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $8$ 。

$105 + \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.12

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.13

一的任意次幂都为一。

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 6.3.14

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 6.3.15

在公分母上合并分子。

$105 + \frac{16 - 2}{3}$

解题步骤 6.3.16

从 $16$ 中减去 $2$ 。

$105 + \frac{14}{3}$

解题步骤 6.3.17

要将 $105$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$105 \cdot \frac{3}{3} + \frac{14}{3}$

解题步骤 6.3.18

组合 $105$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{105 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3}$

解题步骤 6.3.19

在公分母上合并分子。

$\frac{105 \cdot 3 + 14}{3}$

解题步骤 6.3.20

化简分子。

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解题步骤 6.3.20.1

将 $105$ 乘以 $3$ 。

$\frac{315 + 14}{3}$

解题步骤 6.3.20.2

将 $315$ 和 $14$ 相加。

$\frac{329}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{329}{3}$

小数形式：

$109.\overline{6}$

带分数形式：

$109 \frac{2}{3}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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