微积分学示例

$\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}} - 5 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

解题步骤 2.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{2}^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{2}^{3} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{2}^{3} x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{2}^{3} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - 5 d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3} + - 5 x]_{2}^{3}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3}$ 和 $- 5 x]_{2}^{3}$ 。

$2 x^{\frac{1}{2}} - 5 x]_{2}^{3}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $2 x^{\frac{1}{2}} - 5 x$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 3) - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

解题步骤 5.2.2.2

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

解题步骤 5.2.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

解题步骤 5.2.2.2.3

在公分母上合并分子。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 5 \cdot 2)$

解题步骤 5.2.2.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{3}{2}} - 5 \cdot 2)$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{3}{2}} - 10)$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

运用分配律。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - 2^{\frac{3}{2}} - - 10$

解题步骤 5.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - 2^{\frac{3}{2}} + 10$

解题步骤 5.3.2

将 $- 15$ 和 $10$ 相加。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 - 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 - 2^{\frac{3}{2}}$

小数形式：

$- 4.36432550 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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