微积分学示例

$\int_{1}^{7} x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 x^{2} + 9$ 。然后使 $d u = 8 x d x$ ，以便 $\frac{1}{8} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 x^{2} + 9$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 x^{2} + 9$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $4 x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$8 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 4 x^{2} + 9$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 1^{2} + 9$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 4 \cdot 1 + 9$

解题步骤 1.3.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 4 + 9$

解题步骤 1.3.2

将 $4$ 和 $9$ 相加。

$u_{lower} = 13$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 4 x^{2} + 9$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 \cdot 7^{2} + 9$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 4 \cdot 49 + 9$

解题步骤 1.5.1.2

将 $4$ 乘以 $49$ 。

$u_{upper} = 196 + 9$

解题步骤 1.5.2

将 $196$ 和 $9$ 相加。

$u_{upper} = 205$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 13$

$u_{upper} = 205$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{13}^{205} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\int_{13}^{205} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{13}^{205}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $205$ 处和在 $13$ 处的值。

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 205^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $205^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2

组合 $13^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

解题步骤 6.2.3

将 $2$ 移到 $13^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2

合并。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

将 $- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 7.3.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 7.3.3

从 $- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

解题步骤 7.3.4

约去公因数。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

解题步骤 7.3.5

重写表达式。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 7.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 7.5

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

解题步骤 7.6

化简每一项。

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解题步骤 7.6.1

从 $1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

解题步骤 7.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.6.2.1

从 $8 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

解题步骤 7.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

解题步骤 7.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1 \cdot (205^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

解题步骤 7.6.3

将 $205^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

解题步骤 7.6.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

解题步骤 7.6.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

小数形式：

$240.69009594 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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