微积分学示例

$e^{x}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = e^{x + h}$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 $e^{x + h}$ 。

$e^{x + h}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - (e^{x})}{h}$

解题步骤 4

将 $- 1$ 乘以 $e^{x}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.1.2

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.1.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.1.4

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.1.5

计算 $e^{x}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{e^{x + 0} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.3

合并 $e^{x + 0} - e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{x} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.3.2

从 $e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $e^{x + h} - e^{x}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3

计算 $\frac{d}{d h} [e^{x + h}]$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = e^{h}$ 且 $g (h) = x + h$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.1.3

使用 $x + h$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.2

根据加法法则， $x + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.3

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.6

将 $e^{x + h}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4

因为 $- e^{x}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- e^{x}$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5

将 $e^{x + h}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{1}$

解题步骤 5.4

用 $e^{x + h}$ 除以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} e^{x + h}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{h \to 0} x + h}$

解题步骤 6.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.3

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{x + lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 7

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$e^{x + 0}$

解题步骤 8

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$e^{x}$

解题步骤 9

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