微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.7

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - x^{2} + 1$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.2.1

将 ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.2

根据加法法则， $- x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.7

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4

求微分。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.5.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 1$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.5.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5

化简。

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解题步骤 1.1.2.5.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.2

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.2

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.6.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.6.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.7

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8

化简。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.9.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.11.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.11.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.2

从 $4 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.3

将 $4 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.2

将 $- 2 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.3

从 $- 2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.5.4.1

从 $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.4.1.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.2

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.3

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.4

从 $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.5

从 $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.4

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.2.5.4.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 1.1.2.5.4.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.5

约去 $x^{2} + 1$ 和 ${(x^{2} + 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.5.1

从 $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.5.2.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.5.5.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.5.5.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 1.2.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.3.3

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 1.2.3.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$x^{2} = 3$

解题步骤 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.3.3.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.3.3.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.3.3.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.3.3.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.3.4

最终解为使 $2 x (x^{2} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x}{x^{2} + 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 2.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 2.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{17^{3}}$

解题步骤 4.2.2.3

对 $17$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{4913}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 - 3)}{4913}$

解题步骤 4.2.3.2

从 $16$ 中减去 $3$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 13}{4913}$

解题步骤 4.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $- 8$ 乘以 $13$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 104}{4913}$

解题步骤 4.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 4) = - \frac{104}{4913}$

解题步骤 4.2.5

最终答案为 $- \frac{104}{4913}$ 。

$- \frac{104}{4913}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 上向下凹，因为 $f'' (- 4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间 $(- \sqrt{3}, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 - 3)}{8}$

解题步骤 5.2.3.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot - 2}{8}$

解题步骤 5.2.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (- 1) = \frac{4}{8}$

解题步骤 5.2.4.2

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 1) = \frac{4 (1)}{8}$

解题步骤 5.2.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.4.2.2.2

约去公因数。

$f'' (- 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.4.2.2.3

重写表达式。

$f'' (- 1) = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \sqrt{3}, 0)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 1)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \sqrt{3}, 0)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(0, \sqrt{3})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{8}$

解题步骤 6.2.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = \frac{2 (1 - 3)}{8}$

解题步骤 6.2.3.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (1) = \frac{2 \cdot - 2}{8}$

解题步骤 6.2.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (1) = \frac{- 4}{8}$

解题步骤 6.2.4.2

约去 $- 4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (1) = \frac{4 (- 1)}{8}$

解题步骤 6.2.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.4.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 6.2.4.2.2.2

约去公因数。

$f'' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 6.2.4.2.2.3

重写表达式。

$f'' (1) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.2.4.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (1) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.5

最终答案为 $- \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(0, \sqrt{3})$ 上向下凹，因为 $f'' (1)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \sqrt{3})$ 上为向下凹

解题步骤 7

将区间 $(\sqrt{3}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} - 3)}{{({(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{{(4^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{17^{3}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $17$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{4913}$

解题步骤 7.2.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{8 (16 - 3)}{4913}$

解题步骤 7.2.3.2

从 $16$ 中减去 $3$ 。

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 13}{4913}$

解题步骤 7.2.4

将 $8$ 乘以 $13$ 。

$f'' (4) = \frac{104}{4913}$

解题步骤 7.2.5

最终答案为 $\frac{104}{4913}$ 。

$\frac{104}{4913}$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(\sqrt{3}, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\sqrt{3}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \sqrt{3}, 0)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \sqrt{3})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\sqrt{3}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例