微积分学示例

$f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 72 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2017)$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2017)$

解题步骤 1.1.4.3

将 $- 72$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 + \frac{d}{d x} (2017)$

解题步骤 1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $2017$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2017$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 + 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $6 x^{2} - 24 x - 72$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x^{2} - 24 x - 72$ 。

$6 x^{2} - 24 x - 72$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $6 x^{2} - 24 x - 72$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) - 24 x - 72 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 (- 4 x) - 72 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 72$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 x^{2} + 6 (- 4 x) + 6 \cdot - 12 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $6 x^{2} + 6 (- 4 x)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot - 12 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot - 12$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} - 4 x - 12) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 4$ 。

$- 6, 2$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$6 ((x - 6) (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$6 (x - 6) (x + 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 2.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.6

最终解为使 $6 (x - 6) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 6, - 2$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 6$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $6$ 替换 $x$ 。

$2 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $216$ 。

$432 - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$432 - 12 \cdot 36 - 72 \cdot 6 + 2017$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $36$ 。

$432 - 432 - 72 \cdot 6 + 2017$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $- 72$ 乘以 $6$ 。

$432 - 432 - 432 + 2017$

解题步骤 4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $432$ 中减去 $432$ 。

$0 - 432 + 2017$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $0$ 中减去 $432$ 。

$- 432 + 2017$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $- 432$ 和 $2017$ 相加。

$1585$

解题步骤 4.2

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$2 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$- 16 - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

解题步骤 4.2.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 16 - 12 \cdot 4 - 72 \cdot - 2 + 2017$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$- 16 - 48 - 72 \cdot - 2 + 2017$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $- 72$ 乘以 $- 2$ 。

$- 16 - 48 + 144 + 2017$

解题步骤 4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $- 16$ 中减去 $48$ 。

$- 64 + 144 + 2017$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $- 64$ 和 $144$ 相加。

$80 + 2017$

解题步骤 4.2.2.2.3

将 $80$ 和 $2017$ 相加。

$2097$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(6, 1585), (- 2, 2097)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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