微积分学示例

$f (x) = 4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ , $0 < x < 2.5$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 34 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 34$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 34 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 34 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{2} - 34 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} - 34 (2 x) + \frac{d}{d x} [60 x]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 34$ 。

$12 x^{2} - 68 x + \frac{d}{d x} [60 x]$

解题步骤 1.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [60 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 x$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{2} - 68 x + 60 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} - 68 x + 60 \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.4.3

将 $60$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 68 x + 60$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{2} - 68 x + 60$ 。

$12 x^{2} - 68 x + 60$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 68 x + 60 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $12 x^{2} - 68 x + 60$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3 x^{2}) - 68 x + 60 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $- 68 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x) + 60 = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $60$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x) + 4 (15) = 0$

解题步骤 1.2.2.4

从 $4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3 x^{2} - 17 x) + 4 (15) = 0$

解题步骤 1.2.2.5

从 $4 (3 x^{2} - 17 x) + 4 (15)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 (3 x^{2} - 17 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 (3 x^{2} - 17 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $3 x^{2} - 17 x + 15$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 17 x + 15 = \frac{0}{4}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$3 x^{2} - 17 x + 15 = 0$

解题步骤 1.2.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2.5

将 $a = 3$ 、 $b = - 17$ 和 $c = 15$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 15)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6

化简。

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解题步骤 1.2.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1.1

对 $- 17$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ 。

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解题步骤 1.2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $15$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6.1.3

从 $289$ 中减去 $180$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

解题步骤 1.2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.1.1

对 $- 17$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.7.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $15$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.7.1.3

从 $289$ 中减去 $180$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

解题步骤 1.2.7.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

解题步骤 1.2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.8.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.8.1.1

对 $- 17$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.8.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $15$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.8.1.3

从 $289$ 中减去 $180$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

解题步骤 1.2.8.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

解题步骤 1.2.9

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ 替换 $x$ 。

$4 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{3} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{6^{3}} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{216} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.3.1

从 $216$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{4 (54)} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.3.2

约去公因数。

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{4 \cdot 54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.3.3

重写表达式。

$\frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

使用二项式定理。

$\frac{17^{3} + 3 \cdot 17^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.5.1

对 $17$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4913 + 3 \cdot 17^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.2

对 $17$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4913 + 3 \cdot 289 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.3

将 $3$ 乘以 $289$ 。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.4

将 $3$ 乘以 $17$ 。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.5

将 ${\sqrt{109}}^{2}$ 重写为 $109$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.5.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{109}$ 重写成 $109^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.5.5.4.1

约去公因数。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.5.4.2

重写表达式。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{1} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.5.5

计算指数。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109 + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.6

将 $51$ 乘以 $109$ 。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.7

将 ${\sqrt{109}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{109^{3}}$ 。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{109^{3}}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.8

对 $109$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{1295029}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.9

将 $1295029$ 重写为 $109^{2} \cdot 109$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.5.9.1

从 $1295029$ 中分解出因数 $11881$ 。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{11881 (109)}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.9.2

将 $11881$ 重写为 $109^{2}$ 。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.10

从根式下提出各项。

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.6

将 $4913$ 和 $5559$ 相加。

$\frac{10472 + 867 \sqrt{109} + 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.7

将 $867 \sqrt{109}$ 和 $109 \sqrt{109}$ 相加。

$\frac{10472 + 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.8

约去 $10472 + 976 \sqrt{109}$ 和 $54$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.8.1

从 $10472$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5236) + 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.8.2

从 $976 \sqrt{109}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5236) + 2 (488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.8.3

从 $2 (5236) + 2 (488 \sqrt{109})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.8.4.1

从 $54$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.8.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.8.4.3

重写表达式。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.9

对 $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ 运用乘积法则。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{6^{2}} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.10

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.11.1

从 $- 34$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 (- 17) \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.11.2

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.11.3

约去公因数。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.11.4

重写表达式。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.12

组合 $- 17$ 和 $\frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18}$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 {(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.13

将 ${(17 + \sqrt{109})}^{2}$ 重写为 $(17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109})$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 ((17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.14

使用 FOIL 方法展开 $(17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109})$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.14.1

运用分配律。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 (17 + \sqrt{109}) + \sqrt{109} (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.14.2

运用分配律。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.14.3

运用分配律。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \cdot 17 + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.15

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.15.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.15.1.1

将 $17$ 乘以 $17$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \cdot 17 + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.15.1.2

将 $17$ 移到 $\sqrt{109}$ 的左侧。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \cdot \sqrt{109} + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.15.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109 \cdot 109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.15.1.4

将 $109$ 乘以 $109$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{11881})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.15.1.5

将 $11881$ 重写为 $109^{2}$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109^{2}})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.15.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + 109)}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.15.2

将 $289$ 和 $109$ 相加。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.15.3

将 $17 \sqrt{109}$ 和 $17 \sqrt{109}$ 相加。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 + 34 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.16

约去 $398 + 34 \sqrt{109}$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.16.1

从 $- 17 (398 + 34 \sqrt{109})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.16.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.16.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{2 (9)} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.16.2.2

约去公因数。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{2 \cdot 9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.16.2.3

重写表达式。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.17

将负号移到分数的前面。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.1.2.1.18

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.18.1

从 $60$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 6 (10) \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

解题步骤 1.4.1.2.1.18.2

约去公因数。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 6 \cdot 10 \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

解题步骤 1.4.1.2.1.18.3

重写表达式。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 10 (17 + \sqrt{109})$

解题步骤 1.4.1.2.1.19

运用分配律。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 10 \cdot 17 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.1.20

将 $10$ 乘以 $17$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.2

要将 $- \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $\frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1

运用分配律。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 17 \cdot 199 - 17 (17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.5.2

将 $- 17$ 乘以 $199$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 17 (17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.5.3

将 $17$ 乘以 $- 17$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 289 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.5.4

运用分配律。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 3383 \cdot 3 - 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.5.5

将 $- 3383$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 10149 - 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.5.6

将 $3$ 乘以 $- 289$ 。

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 10149 - 867 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.5.7

从 $5236$ 中减去 $10149$ 。

$\frac{- 4913 + 488 \sqrt{109} - 867 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.5.8

从 $488 \sqrt{109}$ 中减去 $867 \sqrt{109}$ 。

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.6

要将 $170$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + 170 \cdot \frac{27}{27} + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.7

组合 $170$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{170 \cdot 27}{27} + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.4.1.2.8.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109} + 170 \cdot 27}{27} + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.8.2

将 $170$ 乘以 $27$ 。

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109} + 4590}{27} + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.8.3

将 $- 4913$ 和 $4590$ 相加。

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.1.2.9

要将 $10 \sqrt{109}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + 10 \sqrt{109} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.10

合并分数。

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解题步骤 1.4.1.2.10.1

组合 $10 \sqrt{109}$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.10.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109} + 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.11

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.2.11.1

将 $27$ 乘以 $10$ 。

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109} + 270 \sqrt{109}}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.11.2

将 $- 379 \sqrt{109}$ 和 $270 \sqrt{109}$ 相加。

$\frac{- 323 - 109 \sqrt{109}}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.12

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.12.1

将 $- 323$ 重写为 $- 1 (323)$ 。

$\frac{- 1 (323) - 109 \sqrt{109}}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.12.2

从 $- 109 \sqrt{109}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (323) - (109 \sqrt{109})}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.12.3

从 $- 1 (323) - (109 \sqrt{109})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (323 + 109 \sqrt{109})}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.12.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{323 + 109 \sqrt{109}}{27}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ 替换 $x$ 。

$4 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{3} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{6^{3}} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{216} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.3.1

从 $216$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{4 (54)} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.3.2

约去公因数。

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{4 \cdot 54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.3.3

重写表达式。

$\frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

使用二项式定理。

$\frac{17^{3} + 3 \cdot 17^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.5.1

对 $17$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4913 + 3 \cdot 17^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.2

对 $17$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4913 + 3 \cdot 289 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.3

将 $3$ 乘以 $289$ 。

$\frac{4913 + 867 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.4

将 $- 1$ 乘以 $867$ 。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.5

将 $3$ 乘以 $17$ 。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.6

对 $- \sqrt{109}$ 运用乘积法则。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 (1 {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.8

将 ${\sqrt{109}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {\sqrt{109}}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.9

将 ${\sqrt{109}}^{2}$ 重写为 $109$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.5.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{109}$ 重写成 $109^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.5.9.4.1

约去公因数。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.9.4.2

重写表达式。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{1} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.9.5

计算指数。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.10

将 $51$ 乘以 $109$ 。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.11

对 $- \sqrt{109}$ 运用乘积法则。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.13

将 ${\sqrt{109}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{109^{3}}$ 。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{109^{3}}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.14

对 $109$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{1295029}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.15

将 $1295029$ 重写为 $109^{2} \cdot 109$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.2.1.5.15.1

从 $1295029$ 中分解出因数 $11881$ 。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{11881 (109)}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.15.2

将 $11881$ 重写为 $109^{2}$ 。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.16

从根式下提出各项。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - (109 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.17

将 $109$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.6

将 $4913$ 和 $5559$ 相加。

$\frac{10472 - 867 \sqrt{109} - 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.7

从 $- 867 \sqrt{109}$ 中减去 $109 \sqrt{109}$ 。

$\frac{10472 - 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.8

约去 $10472 - 976 \sqrt{109}$ 和 $54$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.2.1.8.1

从 $10472$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5236) - 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.8.2

从 $- 976 \sqrt{109}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5236) + 2 (- 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.8.3

从 $2 (5236) + 2 (- 488 \sqrt{109})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.8.4.1

从 $54$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.8.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.8.4.3

重写表达式。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.9

对 $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ 运用乘积法则。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{6^{2}} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.10

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.11.1

从 $- 34$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 (- 17) \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.11.2

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.11.3

约去公因数。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.11.4

重写表达式。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.12

组合 $- 17$ 和 $\frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18}$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 {(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.13

将 ${(17 - \sqrt{109})}^{2}$ 重写为 $(17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109})$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 ((17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.14

使用 FOIL 方法展开 $(17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.2.1.14.1

运用分配律。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 (17 - \sqrt{109}) - \sqrt{109} (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.14.2

运用分配律。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.14.3

运用分配律。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.15.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.1

将 $17$ 乘以 $17$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.2

将 $- 1$ 乘以 $17$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.3

将 $17$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.4

乘以 $- \sqrt{109} (- \sqrt{109})$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 1 \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.4.2

将 $\sqrt{109}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.4.3

对 $\sqrt{109}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.4.4

对 $\sqrt{109}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1} {\sqrt{109}}^{1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1 + 1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.5

将 ${\sqrt{109}}^{2}$ 重写为 $109$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{109}$ 重写成 $109^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {(109^{\frac{1}{2}})}^{2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{2}{2}})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{2}{2}})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.1.5.5

计算指数。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109)}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.2

将 $289$ 和 $109$ 相加。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.15.3

从 $- 17 \sqrt{109}$ 中减去 $17 \sqrt{109}$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 - 34 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.16

约去 $398 - 34 \sqrt{109}$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.16.1

从 $- 17 (398 - 34 \sqrt{109})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.16.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.16.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{2 (9)} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.16.2.2

约去公因数。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{2 \cdot 9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.16.2.3

重写表达式。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.17

将负号移到分数的前面。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

解题步骤 1.4.2.2.1.18

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.18.1

从 $60$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 6 (10) \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.18.2

约去公因数。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 6 \cdot 10 \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

解题步骤 1.4.2.2.1.18.3

重写表达式。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 10 (17 - \sqrt{109})$

解题步骤 1.4.2.2.1.19

运用分配律。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 10 \cdot 17 + 10 (- \sqrt{109})$

解题步骤 1.4.2.2.1.20

将 $10$ 乘以 $17$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 170 + 10 (- \sqrt{109})$

解题步骤 1.4.2.2.1.21

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.2

要将 $- \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 1.4.2.2.3.1

将 $\frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.2.2.5.1

运用分配律。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 17 \cdot 199 - 17 (- 17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.5.2

将 $- 17$ 乘以 $199$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 17 (- 17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.5.3

将 $- 17$ 乘以 $- 17$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 3383 + 289 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.5.4

运用分配律。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 3383 \cdot 3 + 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.5.5

将 $- 3383$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 10149 + 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.5.6

将 $3$ 乘以 $289$ 。

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 10149 + 867 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.5.7

从 $5236$ 中减去 $10149$ 。

$\frac{- 4913 - 488 \sqrt{109} + 867 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.5.8

将 $- 488 \sqrt{109}$ 和 $867 \sqrt{109}$ 相加。

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.6

要将 $170$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + 170 \cdot \frac{27}{27} - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.7

组合 $170$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{170 \cdot 27}{27} - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.4.2.2.8.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109} + 170 \cdot 27}{27} - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.8.2

将 $170$ 乘以 $27$ 。

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109} + 4590}{27} - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.8.3

将 $- 4913$ 和 $4590$ 相加。

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} - 10 \sqrt{109}$

解题步骤 1.4.2.2.9

要将 $- 10 \sqrt{109}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} - 10 \sqrt{109} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.10

合并分数。

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解题步骤 1.4.2.2.10.1

组合 $- 10 \sqrt{109}$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.10.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109} - 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.11

化简分子。

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解题步骤 1.4.2.2.11.1

将 $27$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109} - 270 \sqrt{109}}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.11.2

从 $379 \sqrt{109}$ 中减去 $270 \sqrt{109}$ 。

$\frac{- 323 + 109 \sqrt{109}}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.12

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.4.2.2.12.1

将 $- 323$ 重写为 $- 1 (323)$ 。

$\frac{- 1 (323) + 109 \sqrt{109}}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.12.2

从 $109 \sqrt{109}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (323) - (- 109 \sqrt{109})}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.12.3

从 $- 1 (323) - (- 109 \sqrt{109})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (323 - 109 \sqrt{109})}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.12.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27}$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 + 109 \sqrt{109}}{27}), (\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

解题步骤 3

使用一阶导数判别法来确定哪些点可能有极大值或极小值。

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解题步骤 3.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, \frac{17 - \sqrt{109}}{6}) \cup (\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, \frac{17 + \sqrt{109}}{6}) \cup (\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \infty)$

解题步骤 3.2

将区间 $(- \infty, \frac{17 - \sqrt{109}}{6})$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $12 x^{2} - 68 x + 60$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 68 \cdot 0 + 60$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 68 \cdot 0 + 60$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 68 \cdot 0 + 60$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $- 68$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 0 + 60$

解题步骤 3.2.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.2.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = 0 + 60$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $0$ 和 $60$ 相加。

$f' (0) = 60$

解题步骤 3.2.2.3

最终答案为 $60$ 。

$60$

解题步骤 3.3

将区间 $(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, \frac{17 + \sqrt{109}}{6})$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $12 x^{2} - 68 x + 60$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 68 \cdot 3 + 60$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 68 \cdot 3 + 60$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $12$ 乘以 $9$ 。

$f' (3) = 108 - 68 \cdot 3 + 60$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $- 68$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = 108 - 204 + 60$

解题步骤 3.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $108$ 中减去 $204$ 。

$f' (3) = - 96 + 60$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $- 96$ 和 $60$ 相加。

$f' (3) = - 36$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- 36$ 。

$- 36$

解题步骤 3.4

将区间 $(\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $7$ ）代入一阶导数 $12 x^{2} - 68 x + 60$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.4.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (7) = 12 {(7)}^{2} - 68 \cdot 7 + 60$

解题步骤 3.4.2

化简结果。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (7) = 12 \cdot 49 - 68 \cdot 7 + 60$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $12$ 乘以 $49$ 。

$f' (7) = 588 - 68 \cdot 7 + 60$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 $- 68$ 乘以 $7$ 。

$f' (7) = 588 - 476 + 60$

解题步骤 3.4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.4.2.2.1

从 $588$ 中减去 $476$ 。

$f' (7) = 112 + 60$

解题步骤 3.4.2.2.2

将 $112$ 和 $60$ 相加。

$f' (7) = 172$

解题步骤 3.4.2.3

最终答案为 $172$ 。

$172$

解题步骤 3.5

由于一阶导数在 $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ 是极大值。

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ 是一个极大值

解题步骤 3.6

由于一阶导数在 $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ 是极小值。

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ 是一个极小值

解题步骤 3.7

这些是 $f (x) = 4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ 的局部极值。

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ 是一个极大值

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ 是一个极小值

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ 是一个极大值

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ 是一个极小值

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

没有绝对最小值

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例