微积分学示例

$x = \tan (y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\sec^{2} (y) y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = \sec^{2} (y) y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\sec^{2} (y) y' = 1$ 。

$\sec^{2} (y) y' = 1$

解题步骤 5.2

将 $\sec^{2} (y) y' = 1$ 中的每一项除以 $\sec^{2} (y)$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $\sec^{2} (y) y' = 1$ 中的每一项都除以 $\sec^{2} (y)$ 。

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $\sec^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ 。

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

解题步骤 5.2.3.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (y)}$ 。

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

解题步骤 5.2.3.5

将 $\cos (y)$ 乘以 $1$ 。

$y' = \cos^{2} (y)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (y) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\cos (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (y) = \pm 0$

解题步骤 7.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\cos (y) = 0$

解题步骤 7.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$y = \arccos (0)$

解题步骤 7.4

化简右边。

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解题步骤 7.4.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$y = \frac{π}{2}$

解题步骤 7.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$y = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.6

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 7.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.6.2

合并分数。

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解题步骤 7.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.6.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 7.6.3

化简分子。

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解题步骤 7.6.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 7.6.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$y = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 7.7

求 $\cos (y)$ 的周期。

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解题步骤 7.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.8

$\cos (y)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$y = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.9

合并答案。

$y = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$ 。

$\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$

解题步骤 8.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $π n$ 重新排序。

$\tan (y) = π n + \frac{π}{2}$

解题步骤 8.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$y = \arctan (π n + \frac{π}{2})$

解题步骤 9

Solve for $x$ when $y$ is $\arctan (π n + \frac{π}{2})$ .

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解题步骤 9.1

去掉圆括号。

$\arctan (π n + \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + π n$

解题步骤 9.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$n = - \frac{1}{2}$

解题步骤 10

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(- \frac{1}{2}, \arctan (π n + \frac{π}{2}))$

解题步骤 11

微积分学 示例

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