微积分学示例

$y = x^{2} + 1$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x^{2} + 1$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 3

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

求在 $x = 0$ 处的原函数 $f (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 5

函数 $f (x) = x^{2} + 1$ 的水平切线为 $y = 1$ 。

$y = 1$

解题步骤 6

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