微积分学示例

$x^{2} + y^{2} = 8 x$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$y^{2} = 8 x - x^{2}$

解题步骤 1.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{8 x - x^{2}}$

解题步骤 1.3

从 $8 x - x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{x \cdot 8 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{x \cdot 8 + x (- x)}$

解题步骤 1.3.3

从 $x \cdot 8 + x (- x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{x (8 - x)}$

解题步骤 1.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

解题步骤 1.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

解题步骤 1.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{x (8 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (8 - x)}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 8 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

求微分。

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解题步骤 3.2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + 2 y y'$

解题步骤 3.2.3

重新排序项。

$2 y y' + 2 x$

解题步骤 3.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' + 2 x = 8$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$2 y y' = 8 - 2 x$

解题步骤 3.5.2

将 $2 y y' = 8 - 2 x$ 中的每一项除以 $2 y$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $2 y y' = 8 - 2 x$ 中的每一项都除以 $2 y$ 。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{4}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{4}{y} + \frac{- x}{y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{4}{y} - \frac{x}{y}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} - \frac{x}{y}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4}{y} - \frac{x}{y} = 0$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $\frac{4}{y}$ 。

$- \frac{x}{y} = - \frac{4}{y}$

解题步骤 4.2

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$- x = - 4$

解题步骤 4.3

将 $- x = - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $- x = - 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 4.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$x = 4$

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{x (8 - x)}$ at $x = 4$ .

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = \sqrt{(4) (8 - (4))}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = \sqrt{4 (8 - 4)}$

解题步骤 5.2.2

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$f (4) = \sqrt{4 \cdot 4}$

解题步骤 5.2.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = \sqrt{16}$

解题步骤 5.2.4

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (4) = \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 5.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (4) = 4$

解题步骤 5.2.6

最终答案为 $4$ 。

$4$

解题步骤 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{x (8 - x)}$ at $x = 4$ .

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = - \sqrt{(4) (8 - (4))}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = - \sqrt{4 (8 - 4)}$

解题步骤 6.2.2

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$f (4) = - \sqrt{4 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = - \sqrt{16}$

解题步骤 6.2.4

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (4) = - \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 6.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (4) = - 1 \cdot 4$

解题步骤 6.2.6

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = - 4$

解题步骤 6.2.7

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 7

The horizontal tangent lines are $y = 4, y = - 4$

$y = 4, y = - 4$

解题步骤 8

微积分学 示例

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