微积分学示例

$12 x^{2} - 176 x + 484$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $12 x^{2} - 176 x + 484$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$24 x + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 176 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 176$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 176 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 x - 176 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [484]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 x - 176 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [484]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 176$ 乘以 $1$ 。

$24 x - 176 + \frac{d}{d x} [484]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $484$ 对于 $x$ 是常数，所以 $484$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$24 x - 176 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $24 x - 176$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 24 x - 176$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $24 x - 176$ 。

$24 x - 176$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $24 x - 176 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$24 x - 176 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $176$ 。

$24 x = 176$

解题步骤 2.3

将 $24 x = 176$ 中的每一项除以 $24$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $24 x = 176$ 中的每一项都除以 $24$ 。

$\frac{24 x}{24} = \frac{176}{24}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $24$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{24 x}{24} = \frac{176}{24}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{176}{24}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

约去 $176$ 和 $24$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.1

从 $176$ 中分解出因数 $8$ 。

$x = \frac{8 (22)}{24}$

解题步骤 2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $8$ 。

$x = \frac{8 \cdot 22}{8 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{8 \cdot 22}{8 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{22}{3}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $12 x^{2} - 176 x + 484$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{22}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{22}{3}$ 替换 $x$ 。

$12 {(\frac{22}{3})}^{2} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $\frac{22}{3}$ 运用乘积法则。

$12 \frac{22^{2}}{3^{2}} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $22$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \frac{484}{3^{2}} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 (\frac{484}{9}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

解题步骤 4.1.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (4) \frac{484}{9} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

解题步骤 4.1.2.1.4.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \cdot 4 \frac{484}{3 \cdot 3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

解题步骤 4.1.2.1.4.3

约去公因数。

$3 \cdot 4 \frac{484}{3 \cdot 3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

解题步骤 4.1.2.1.4.4

重写表达式。

$4 (\frac{484}{3}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

解题步骤 4.1.2.1.5

组合 $4$ 和 $\frac{484}{3}$ 。

$\frac{4 \cdot 484}{3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $4$ 乘以 $484$ 。

$\frac{1936}{3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

解题步骤 4.1.2.1.7

乘以 $- 176 (\frac{22}{3})$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.7.1

组合 $- 176$ 和 $\frac{22}{3}$ 。

$\frac{1936}{3} + \frac{- 176 \cdot 22}{3} + 484$

解题步骤 4.1.2.1.7.2

将 $- 176$ 乘以 $22$ 。

$\frac{1936}{3} + \frac{- 3872}{3} + 484$

解题步骤 4.1.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1936}{3} - \frac{3872}{3} + 484$

解题步骤 4.1.2.2

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.2.1

在公分母上合并分子。

$484 + \frac{1936 - 3872}{3}$

解题步骤 4.1.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.2.2.1

从 $1936$ 中减去 $3872$ 。

$484 + \frac{- 1936}{3}$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$484 - \frac{1936}{3}$

解题步骤 4.1.2.3

要将 $484$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$484 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1936}{3}$

解题步骤 4.1.2.4

组合 $484$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{484 \cdot 3}{3} - \frac{1936}{3}$

解题步骤 4.1.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{484 \cdot 3 - 1936}{3}$

解题步骤 4.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $484$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1452 - 1936}{3}$

解题步骤 4.1.2.6.2

从 $1452$ 中减去 $1936$ 。

$\frac{- 484}{3}$

解题步骤 4.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{484}{3}$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(\frac{22}{3}, - \frac{484}{3})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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