微积分学示例

$x e^{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x e^{x} + e^{x}$ 。

$x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x e^{x} + e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x e^{x} + e^{x} = 0$

解题步骤 2.2

从 $x e^{x} + e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x + e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.2

乘以 $1$ 。

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (x + 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.4.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.6

最终解为使 $e^{x} (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x e^{x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$(- 1) \cdot e^{- 1}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 1 \cdot \frac{1}{e}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 1 \frac{1}{e}$ 重写为 $- \frac{1}{e}$ 。

$- \frac{1}{e}$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(- 1, - \frac{1}{e})$

解题步骤 5

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