微积分学示例

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 6 x^{2} - 15 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} + 12 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} + 12 x - 15 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x - 15$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + 12 x - 15$ 。

$3 x^{2} + 12 x - 15$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} + 12 x - 15 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} + 12 x - 15 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $3 x^{2} + 12 x - 15$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 12 x - 15 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $12 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (4 x) - 15 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 15$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (4 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot - 5$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $4$ 。

$- 1, 5$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x - 1) (x + 5)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x - 1) (x + 5) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 2.6

最终解为使 $3 (x - 1) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 5$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} + 6 x^{2} - 15 x$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

${(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} - 15 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 + 6 {(1)}^{2} - 15 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 + 6 \cdot 1 - 15 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 - 15 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 - 15$

解题步骤 4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$7 - 15$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $7$ 中减去 $15$ 。

$- 8$

解题步骤 4.2

在 $x = - 5$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 5$ 替换 $x$ 。

${(- 5)}^{3} + 6 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 125 + 6 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 125 + 6 \cdot 25 - 15 \cdot - 5$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $6$ 乘以 $25$ 。

$- 125 + 150 - 15 \cdot - 5$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 15$ 乘以 $- 5$ 。

$- 125 + 150 + 75$

解题步骤 4.2.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $- 125$ 和 $150$ 相加。

$25 + 75$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $25$ 和 $75$ 相加。

$100$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(1, - 8), (- 5, 100)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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