微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 8}{x + 3}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{2} - 8}{x + 3}$ 无定义。

$x = - 3$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

+

$3$

$x^{2}$

+

$0 x$

-

$8$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
				+	$x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 3 x$ 中的所有符号

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$3 x$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$3 x$	-	$8$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $- 3 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$	-	$3$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$3 x$	-	$8$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

					$x$	-	$3$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$3 x$	-	$8$
						-	$3 x$	-	$9$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x - 9$ 中的所有符号

					$x$	-	$3$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$3 x$	-	$8$
						+	$3 x$	+	$9$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x$	-	$3$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$3 x$	-	$8$
						+	$3 x$	+	$9$
								+	$1$

解题步骤 5.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$x - 3 + \frac{1}{x + 3}$

解题步骤 5.12

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x - 3$

$y = x - 3$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 3$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x - 3$

解题步骤 7

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$