微积分学示例

$x^{2} - 8 x y + y^{2} = 8$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 8 x y + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 x - 8 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x - 8 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 8 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 8 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x - 8 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x - 8 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x - 8 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x - 8 (x y' + y) + 2 y y'$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$2 x - 8 (x y') - 8 y + 2 y y'$

解题步骤 2.4.2

去掉多余的括号。

$2 x - 8 x y' - 8 y + 2 y y'$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$- 8 x y' + 2 y y' + 2 x - 8 y$

解题步骤 3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 8 x y' + 2 y y' + 2 x - 8 y = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$- 8 x y' + 2 y y' - 8 y = - 2 x$

解题步骤 5.1.2

在等式两边都加上 $8 y$ 。

$- 8 x y' + 2 y y' = - 2 x + 8 y$

解题步骤 5.2

从 $- 8 x y' + 2 y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 8 x y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 4 x) + 2 y y' = - 2 x + 8 y$

解题步骤 5.2.2

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 4 x) + 2 y' y = - 2 x + 8 y$

解题步骤 5.2.3

从 $2 y' (- 4 x) + 2 y' y$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 4 x + y) = - 2 x + 8 y$

解题步骤 5.3

将 $2 y' (- 4 x + y) = - 2 x + 8 y$ 中的每一项除以 $2 (- 4 x + y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $2 y' (- 4 x + y) = - 2 x + 8 y$ 中的每一项都除以 $2 (- 4 x + y)$ 。

$\frac{2 y' (- 4 x + y)}{2 (- 4 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (- 4 x + y)}{2 (- 4 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (- 4 x + y)}{- 4 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $- 4 x + y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (- 4 x + y)}{- 4 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- x}{- 4 x + y} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x}{- 4 x + y} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.1

从 $8 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = - \frac{x}{- 4 x + y} + \frac{2 (4 y)}{2 (- 4 x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{x}{- 4 x + y} + \frac{2 (4 y)}{2 (- 4 x + y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{x}{- 4 x + y} + \frac{4 y}{- 4 x + y}$

解题步骤 5.3.3.2

化简项。

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解题步骤 5.3.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- x + 4 y}{- 4 x + y}$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (x) + 4 y}{- 4 x + y}$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $4 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (x) - (- 4 y)}{- 4 x + y}$

解题步骤 5.3.3.2.4

从 $- (x) - (- 4 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (x - 4 y)}{- 4 x + y}$

解题步骤 5.3.3.2.5

将 $- (x - 4 y)$ 重写为 $- 1 (x - 4 y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- 4 x + y}$

解题步骤 5.3.3.2.6

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- (4 x) + y}$

解题步骤 5.3.3.2.7

从 $y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- (4 x) - 1 (- y)}$

解题步骤 5.3.3.2.8

从 $- (4 x) - 1 (- y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- (4 x - y)}$

解题步骤 5.3.3.2.9

将 $- (4 x - y)$ 重写为 $- 1 (4 x - y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- 1 (4 x - y)}$

解题步骤 5.3.3.2.10

约去公因数。

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- 1 (4 x - y)}$

解题步骤 5.3.3.2.11

重写表达式。

$y' = \frac{x - 4 y}{4 x - y}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4 y}{4 x - y}$

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