微积分学示例

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 135 x$

解题步骤 1

将 $y = x^{3} - 6 x^{2} - 135 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 135 x$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 6 x^{2} - 135 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 135 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 135 x]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 135 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 135 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 135 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 135 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 135 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 135$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 135 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 135 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 12 x - 135 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 12 x - 135 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 135$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 12 x - 135$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 12 x - 135$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 135]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 135)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 135)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 135)$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 135)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 135)$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 135)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 135)$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

因为 $- 135$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 135$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $6 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x - 12$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 12 x - 135 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 6 x^{2} - 135 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 135 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 135 x)$

解题步骤 5.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 135 x)$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 135 x)$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 135 x)$

解题步骤 5.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 135 x)$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 135 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.3.1

因为 $- 135$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 135 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 135 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 135 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 135 \cdot 1$

解题步骤 5.1.3.3

将 $- 135$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 135$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 12 x - 135$ 。

$3 x^{2} - 12 x - 135$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 12 x - 135 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 12 x - 135 = 0$

解题步骤 6.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

从 $3 x^{2} - 12 x - 135$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) - 12 x - 135 = 0$

解题步骤 6.2.1.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 135 = 0$

解题步骤 6.2.1.3

从 $- 135$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 45 = 0$

解题步骤 6.2.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 45 = 0$

解题步骤 6.2.1.5

从 $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 45$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 4 x - 45) = 0$

解题步骤 6.2.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x - 45$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 45$ ，和为 $- 4$ 。

$- 9, 5$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x - 9) (x + 5)) = 0$

解题步骤 6.2.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x - 9) (x + 5) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 6.4

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

解题步骤 6.4.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = 9$

解题步骤 6.5

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 6.5.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 6.6

最终解为使 $3 (x - 9) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 9, - 5$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 9, - 5$

解题步骤 9

计算在 $x = 9$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (9) - 12$

解题步骤 10

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$54 - 12$

解题步骤 10.2

从 $54$ 中减去 $12$ 。

$42$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 9$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 9$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 9$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$f (9) = {(9)}^{3} - 6 {(9)}^{2} - 135 \cdot 9$

解题步骤 12.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1.1

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (9) = 729 - 6 {(9)}^{2} - 135 \cdot 9$

解题步骤 12.2.1.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (9) = 729 - 6 \cdot 81 - 135 \cdot 9$

解题步骤 12.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $81$ 。

$f (9) = 729 - 486 - 135 \cdot 9$

解题步骤 12.2.1.4

将 $- 135$ 乘以 $9$ 。

$f (9) = 729 - 486 - 1215$

解题步骤 12.2.2

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.2.1

从 $729$ 中减去 $486$ 。

$f (9) = 243 - 1215$

解题步骤 12.2.2.2

从 $243$ 中减去 $1215$ 。

$f (9) = - 972$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $- 972$ 。

$y = - 972$

解题步骤 13

计算在 $x = - 5$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (- 5) - 12$

解题步骤 14

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

将 $6$ 乘以 $- 5$ 。

$- 30 - 12$

解题步骤 14.2

从 $- 30$ 中减去 $12$ 。

$- 42$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 5$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 5$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = - 5$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 5) = {(- 5)}^{3} - 6 {(- 5)}^{2} - 135 \cdot - 5$

解题步骤 16.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 5) = - 125 - 6 {(- 5)}^{2} - 135 \cdot - 5$

解题步骤 16.2.1.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 5) = - 125 - 6 \cdot 25 - 135 \cdot - 5$

解题步骤 16.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $25$ 。

$f (- 5) = - 125 - 150 - 135 \cdot - 5$

解题步骤 16.2.1.4

将 $- 135$ 乘以 $- 5$ 。

$f (- 5) = - 125 - 150 + 675$

解题步骤 16.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.2.1

从 $- 125$ 中减去 $150$ 。

$f (- 5) = - 275 + 675$

解题步骤 16.2.2.2

将 $- 275$ 和 $675$ 相加。

$f (- 5) = 400$

解题步骤 16.2.3

最终答案为 $400$ 。

$y = 400$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 135 x$ 的局部极值。

$(9, - 972)$ 是一个局部最小值

$(- 5, 400)$ 是一个局部最大值

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例