微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.6

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 0) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.8

将 $3 x^{2} - 6 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.10

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.10.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.2

从 $x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.10.2.1

从 $x^{2} (3 x^{2} - 6 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x)) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.2

从 $- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.3

从 $x (x (3 x^{2} - 6 x)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x^{4}}$

解题步骤 3

约去公因数。

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解题步骤 3.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 3.2

约去公因数。

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 3.3

重写表达式。

$\frac{x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{x^{3}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{x^{3}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{3} - 6 x \cdot x - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} - 6 (x \cdot x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.1.5

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.2

合并 $3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $- 6 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} + 0 - 8}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $3 x^{3} - 2 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} - 8}{x^{3}}$

解题步骤 4.3.3

从 $3 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} - 8}{x^{3}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 4.4.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 4.4.3

化简。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 4.4.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{3}}$

微积分学 示例

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