微积分学示例

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

解题步骤 1.4.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

解题步骤 1.4.2.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 1.4.2.3

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x) - \sin (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\sin (2 x) - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

解题步骤 2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 4

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 5

从 $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 5.1

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

解题步骤 5.2

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 5.3

从 $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 7

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 7.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 7.2.5

方程 $x = 0$ 的解。

$x = 0, π$

解题步骤 8

将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \cos (x) = 1$

解题步骤 8.2.2

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 8.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 8.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 8.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 8.2.4

化简右边。

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解题步骤 8.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 8.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 8.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 8.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 8.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 8.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 8.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 8.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 8.2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 8.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 8.2.7

方程 $x = \frac{π}{3}$ 的解。

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

解题步骤 9

最终解为使 $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

解题步骤 10

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$2 \cos (0) - \cos (0)$

解题步骤 11.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

解题步骤 11.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - \cos (0)$

解题步骤 11.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 - 1 \cdot 1$

解题步骤 11.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1$

解题步骤 11.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$1$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 13

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

解题步骤 13.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + \cos (0)$

解题步骤 13.2.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 13.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 14

计算在 $x = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

解题步骤 15

计算二阶导数。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \cos (0) - \cos (π)$

解题步骤 15.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

解题步骤 15.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - \cos (π)$

解题步骤 15.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 - - \cos (0)$

解题步骤 15.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.1.6

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 15.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 - - 1$

解题步骤 15.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 + 1$

解题步骤 15.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3$

解题步骤 16

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = π$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = π$ 是一个极小值

解题步骤 17

求 $x = π$ 时的 y 值。

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解题步骤 17.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

解题步骤 17.2

化简结果。

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解题步骤 17.2.1

化简每一项。

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解题步骤 17.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

解题步骤 17.2.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

解题步骤 17.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (π) = 0 + \cos (π)$

解题步骤 17.2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (π) = 0 - \cos (0)$

解题步骤 17.2.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 17.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = 0 - 1$

解题步骤 17.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (π) = - 1$

解题步骤 17.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 18

计算在 $x = \frac{π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 19

计算二阶导数。

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解题步骤 19.1

化简每一项。

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解题步骤 19.1.1

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 19.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 19.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 19.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.1.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 19.1.4.2

约去公因数。

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 19.1.4.3

重写表达式。

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 19.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 19.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 19.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 19.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 19.5

化简分子。

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解题步骤 19.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 - 1}{2}$

解题步骤 19.5.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 3}{2}$

解题步骤 19.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2}$

解题步骤 20

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 21

求 $x = \frac{π}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 21.1

使用表达式中的 $\frac{π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.2

化简结果。

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解题步骤 21.2.1

化简每一项。

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解题步骤 21.2.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.2.1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 21.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 21.2.1.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.2.1.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.2.1.3.5

计算指数。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.2.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.2.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 21.2.2

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 21.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 21.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 21.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

解题步骤 21.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

解题步骤 21.2.5

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

解题步骤 21.2.6

最终答案为 $\frac{5}{4}$ 。

$y = \frac{5}{4}$

解题步骤 22

计算在 $x = \frac{5 π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 23

计算二阶导数。

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解题步骤 23.1

化简每一项。

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解题步骤 23.1.1

乘以 $2 (\frac{5 π}{3})$ 。

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解题步骤 23.1.1.1

组合 $2$ 和 $\frac{5 π}{3}$ 。

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 23.1.1.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 23.1.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 23.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 23.1.4

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 23.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.1.5.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 23.1.5.2

约去公因数。

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 23.1.5.3

重写表达式。

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 23.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.1.7

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 23.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 23.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 23.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 23.5

化简分子。

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解题步骤 23.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 - 1}{2}$

解题步骤 23.5.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 3}{2}$

解题步骤 23.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2}$

解题步骤 24

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{5 π}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{5 π}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 25

求 $x = \frac{5 π}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 25.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2

化简结果。

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解题步骤 25.2.1

化简每一项。

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解题步骤 25.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 25.2.1.3.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.3.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.5

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 25.2.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 25.2.1.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.6.5

计算指数。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 25.2.1.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 25.2.1.9

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 25.2.2

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 25.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 25.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 25.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

解题步骤 25.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

解题步骤 25.2.5

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

解题步骤 25.2.6

最终答案为 $\frac{5}{4}$ 。

$y = \frac{5}{4}$

解题步骤 26

这些是 $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ 的局部极值。

$(0, 1)$ 是一个局部最小值

$(π, - 1)$ 是一个局部最小值

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ 是一个局部最大值

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ 是一个局部最大值

解题步骤 27

微积分学 示例

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