微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(x + h)}^{2} x^{2}$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 ${(x + h)}^{2} x^{2}$ 的因式。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 2.2

因为项 $\frac{1}{x^{2}}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 3.1.2.1.2

计算 $x^{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 3.1.2.1.3

使用极限幂法则把 ${(x + h)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 3.1.2.1.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 3.1.2.1.5

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + 0)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 3.1.2.3

合并 $x^{2} - {(x + 0)}^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 3.1.2.3.2

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 3.1.3.2

使用极限幂法则把 ${(x + h)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 3.1.3.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 3.1.3.4

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 3.1.3.5

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.5.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 3.1.3.5.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.6.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{x^{2} \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.6.2

将 $x^{2}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.6.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.2

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x + h) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x (x + h) + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.3.3

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.4.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 3.3.4.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.4.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.5

根据加法法则， $x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.6

因为 $x^{2}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.7

计算 $\frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

因为 $- 1$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ 对 $h$ 的导数是 $- \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.7.2

根据加法法则， $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.7.3

因为 $x^{2}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.7.4

因为 $2 x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $2 h x$ 对 $h$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d h} [h]$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.7.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.7.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.7.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.7.8

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.8

化简。

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解题步骤 3.3.8.1

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.8.2

合并项。

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解题步骤 3.3.8.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.8.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.8.2.3

从 $0$ 中减去 $- (- 2 x - 2 h)$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.8.3

重新排序项。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

解题步骤 3.3.9

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) h]}$

解题步骤 3.3.10

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 3.3.10.1

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x (x + h) + h (x + h)) h]}$

解题步骤 3.3.10.2

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h (x + h)) h]}$

解题步骤 3.3.10.3

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) h]}$

解题步骤 3.3.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.11.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.11.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h \cdot h) h]}$

解题步骤 3.3.11.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h^{2}) h]}$

解题步骤 3.3.11.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 3.3.11.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + h x + h x + h^{2}) h]}$

解题步骤 3.3.11.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + 2 h x + h^{2}) h]}$

解题步骤 3.3.12

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ 等于 $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ，其中 $f (h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$ 且 $g (h) = h$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

解题步骤 3.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

解题步骤 3.3.14

将 $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

解题步骤 3.3.15

根据加法法则， $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

解题步骤 3.3.16

因为 $x^{2}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

解题步骤 3.3.17

将 $0$ 和 $\frac{d}{d h} [2 h x]$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

解题步骤 3.3.18

因为 $2 x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $2 h x$ 对 $h$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d h} [h]$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

解题步骤 3.3.19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

解题步骤 3.3.20

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

解题步骤 3.3.21

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + 2 h)}$

解题步骤 3.3.22

化简。

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解题步骤 3.3.22.1

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \cdot 2 x + h \cdot 2 h}$

解题步骤 3.3.22.2

合并项。

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解题步骤 3.3.22.2.1

将 $2$ 移到 $h$ 的左侧。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 \cdot h x + h \cdot 2 h}$

解题步骤 3.3.22.2.2

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h}$

解题步骤 3.3.22.2.3

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h^{1}}$

解题步骤 3.3.22.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1 + 1}}$

解题步骤 3.3.22.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{2}}$

解题步骤 3.3.22.2.6

将 $2 h x$ 和 $2 h x$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + h^{2} + 4 h x + 2 h^{2}}$

解题步骤 3.3.22.2.7

将 $h^{2}$ 和 $2 h^{2}$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 3 h^{2} + 4 h x}$

解题步骤 3.3.22.3

重新排序项。

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} - 2 h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

解题步骤 4.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

解题步骤 4.3

因为项 $2$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

解题步骤 4.4

计算 $2 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

解题步骤 4.5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

解题步骤 4.6

因为项 $3$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

解题步骤 4.7

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

解题步骤 4.8

计算 $x^{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

解题步骤 4.9

因为项 $4 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

解题步骤 6.1.2

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

解题步骤 6.2.3

乘以 $4 x \cdot 0$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0 x}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0}$

解题步骤 6.2.4

将 $0 + x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2}}$

解题步骤 6.2.5

将 $0$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{x^{2}}$

解题步骤 6.3

合并。

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2} x^{2}}$

解题步骤 6.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2 + 2}}$

解题步骤 6.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 6.5

将 $- 2 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 6.6

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

解题步骤 6.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.6.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 6.6.2.2

约去公因数。

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 6.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{x^{3}}$

解题步骤 6.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{3}}$

微积分学 示例

微积分学示例