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微积分学 示例
解题步骤 1
解题步骤 1.1
要将 写成带有公分母的分数,请乘以 。
解题步骤 1.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以 。
解题步骤 1.3
通过与 的合适因数相乘,将每一个表达式写成具有公分母 的形式。
解题步骤 1.3.1
将 乘以 。
解题步骤 1.3.2
将 乘以 。
解题步骤 1.3.3
重新排序 的因式。
解题步骤 1.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.5
将 和 相加。
解题步骤 1.6
从 中减去 。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
计算分子和分母的极限值。
解题步骤 2.1.1
取分子和分母极限值。
解题步骤 2.1.2
计算分子的极限值。
解题步骤 2.1.2.1
当 趋于 时,利用极限的加法法则来分解极限。
解题步骤 2.1.2.2
使用极限幂法则把 的指数 移到极限外。
解题步骤 2.1.2.3
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 2.1.2.4
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 2.1.2.5
将 代入所有出现 的地方来计算极限值。
解题步骤 2.1.2.5.1
将 代入 来计算 的极限值。
解题步骤 2.1.2.5.2
将 代入 来计算 的极限值。
解题步骤 2.1.2.6
化简答案。
解题步骤 2.1.2.6.1
化简每一项。
解题步骤 2.1.2.6.1.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 2.1.2.6.1.2
将 乘以 。
解题步骤 2.1.2.6.2
从 中减去 。
解题步骤 2.1.2.6.3
将 和 相加。
解题步骤 2.1.3
计算分母的极限值。
解题步骤 2.1.3.1
当 趋于 时,利用极限的乘积法则来分解极限。
解题步骤 2.1.3.2
当 趋于 时,利用极限的加法法则来分解极限。
解题步骤 2.1.3.3
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 2.1.3.4
当 趋于 时,利用极限的加法法则来分解极限。
解题步骤 2.1.3.5
使用极限幂法则把 的指数 移到极限外。
解题步骤 2.1.3.6
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 2.1.3.7
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 2.1.3.8
将 代入所有出现 的地方来计算极限值。
解题步骤 2.1.3.8.1
将 代入 来计算 的极限值。
解题步骤 2.1.3.8.2
将 代入 来计算 的极限值。
解题步骤 2.1.3.8.3
将 代入 来计算 的极限值。
解题步骤 2.1.3.9
化简答案。
解题步骤 2.1.3.9.1
将 乘以 。
解题步骤 2.1.3.9.2
从 中减去 。
解题步骤 2.1.3.9.3
化简每一项。
解题步骤 2.1.3.9.3.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 2.1.3.9.3.2
将 乘以 。
解题步骤 2.1.3.9.4
从 中减去 。
解题步骤 2.1.3.9.5
将 和 相加。
解题步骤 2.1.3.9.6
将 乘以 。
解题步骤 2.1.3.9.7
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 2.1.3.10
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 2.1.4
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 2.2
因为 是不定式,所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明,函数的商的极限等于它们导数的商的极限。
解题步骤 2.3
求分子和分母的导数。
解题步骤 2.3.1
对分子和分母进行求导。
解题步骤 2.3.2
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.3.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.3.4
计算 。
解题步骤 2.3.4.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.3.4.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.3.4.3
将 乘以 。
解题步骤 2.3.5
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 2.3.6
将 和 相加。
解题步骤 2.3.7
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.3.8
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.3.9
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.3.10
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.3.11
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.3.12
将 乘以 。
解题步骤 2.3.13
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 2.3.14
将 和 相加。
解题步骤 2.3.15
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.3.16
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.3.17
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 2.3.18
将 和 相加。
解题步骤 2.3.19
将 乘以 。
解题步骤 2.3.20
化简。
解题步骤 2.3.20.1
运用分配律。
解题步骤 2.3.20.2
运用分配律。
解题步骤 2.3.20.3
运用分配律。
解题步骤 2.3.20.4
合并项。
解题步骤 2.3.20.4.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.3.20.4.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.3.20.4.3
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.3.20.4.4
将 和 相加。
解题步骤 2.3.20.4.5
将 乘以 。
解题步骤 2.3.20.4.6
将 移到 的左侧。
解题步骤 2.3.20.4.7
将 乘以 。
解题步骤 2.3.20.4.8
从 中减去 。
解题步骤 2.3.20.4.9
将 和 相加。
解题步骤 2.3.20.4.10
从 中减去 。
解题步骤 2.3.20.4.11
将 和 相加。
解题步骤 3
解题步骤 3.1
计算分子和分母的极限值。
解题步骤 3.1.1
取分子和分母极限值。
解题步骤 3.1.2
计算分子的极限值。
解题步骤 3.1.2.1
计算极限值。
解题步骤 3.1.2.1.1
当 趋于 时,利用极限的加法法则来分解极限。
解题步骤 3.1.2.1.2
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 3.1.2.1.3
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 3.1.2.2
将 代入 来计算 的极限值。
解题步骤 3.1.2.3
化简答案。
解题步骤 3.1.2.3.1
化简每一项。
解题步骤 3.1.2.3.1.1
将 乘以 。
解题步骤 3.1.2.3.1.2
将 乘以 。
解题步骤 3.1.2.3.2
从 中减去 。
解题步骤 3.1.3
计算分母的极限值。
解题步骤 3.1.3.1
当 趋于 时,利用极限的加法法则来分解极限。
解题步骤 3.1.3.2
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 3.1.3.3
使用极限幂法则把 的指数 移到极限外。
解题步骤 3.1.3.4
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 3.1.3.5
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 3.1.3.6
将 代入所有出现 的地方来计算极限值。
解题步骤 3.1.3.6.1
将 代入 来计算 的极限值。
解题步骤 3.1.3.6.2
将 代入 来计算 的极限值。
解题步骤 3.1.3.7
化简答案。
解题步骤 3.1.3.7.1
化简每一项。
解题步骤 3.1.3.7.1.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 3.1.3.7.1.2
将 乘以 。
解题步骤 3.1.3.7.1.3
将 乘以 。
解题步骤 3.1.3.7.2
从 中减去 。
解题步骤 3.1.3.7.3
将 和 相加。
解题步骤 3.1.3.7.4
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 3.1.3.8
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 3.1.4
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 3.2
因为 是不定式,所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明,函数的商的极限等于它们导数的商的极限。
解题步骤 3.3
求分子和分母的导数。
解题步骤 3.3.1
对分子和分母进行求导。
解题步骤 3.3.2
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 3.3.3
计算 。
解题步骤 3.3.3.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 3.3.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 3.3.3.3
将 乘以 。
解题步骤 3.3.4
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 3.3.5
将 和 相加。
解题步骤 3.3.6
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 3.3.7
计算 。
解题步骤 3.3.7.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 3.3.7.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 3.3.7.3
将 乘以 。
解题步骤 3.3.8
计算 。
解题步骤 3.3.8.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 3.3.8.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 3.3.8.3
将 乘以 。
解题步骤 3.3.9
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 3.3.10
将 和 相加。
解题步骤 3.4
约去 和 的公因数。
解题步骤 3.4.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.4.2
约去公因数。
解题步骤 3.4.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.4.2.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.4.2.3
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.4.2.4
约去公因数。
解题步骤 3.4.2.5
重写表达式。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
当 趋于 时,利用极限的除法定则来分解极限。
解题步骤 4.2
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 4.3
当 趋于 时,利用极限的加法法则来分解极限。
解题步骤 4.4
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 4.5
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 5
将 代入 来计算 的极限值。
解题步骤 6
解题步骤 6.1
化简分母。
解题步骤 6.1.1
将 乘以 。
解题步骤 6.1.2
将 乘以 。
解题步骤 6.1.3
从 中减去 。
解题步骤 6.2
用 除以 。