微积分学示例

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 4 x - 12}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 4 x - 12}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 12}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 12}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 12}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} + 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} + 4 \cdot 2 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 + 4 \cdot 2 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 + 8 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{4 + 8 - 12}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.2.6.3

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{4 - 4}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 4 x - 12}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 4 x - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

解题步骤 1.3.6

将 $2 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 4}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 4}{2 x + 0}$

解题步骤 1.3.10

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 4}{2 x}$

解题步骤 1.4

约去 $2 x + 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x) + 4}{2 x}$

解题步骤 1.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 x}$

解题步骤 1.4.3

从 $2 (x) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x + 2)}{2 x}$

解题步骤 1.4.4

约去公因数。

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解题步骤 1.4.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x + 2)}{2 (x)}$

解题步骤 1.4.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x + 2)}{2 x}$

解题步骤 1.4.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x + 2}{lim_{x \to 2} x}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x}$

解题步骤 2.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 2} x + 2}{lim_{x \to 2} x}$

解题步骤 3

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 + 2}{lim_{x \to 2} x}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 + 2}{2}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

约去 $2 + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2}{2}$

解题步骤 4.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot 1}{2}$

解题步骤 4.1.3

从 $2 \cdot 1 + 2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot (1 + 1)}{2}$

解题步骤 4.1.4

约去公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot (1 + 1)}{2 (1)}$

解题步骤 4.1.4.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot (1 + 1)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4.3

重写表达式。

$\frac{1 + 1}{1}$

解题步骤 4.1.4.4

用 $1 + 1$ 除以 $1$ 。

$1 + 1$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2$

微积分学 示例

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