微积分学示例

$y = x^{2}$ , $y = x + 3$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{2} = x + 3$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = x + 3$ 。

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解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x^{2} - x = 3$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{2} - x - 3 = 0$

解题步骤 1.2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = x + 3$

解题步骤 1.2.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = - 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1} + y = x + 3$

解题步骤 1.2.5

化简。

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解题步骤 1.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 1.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.1.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 1.2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 1.2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.6.1.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 1.2.6.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 1.2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.1.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 1.2.7.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 1.2.8

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 1.3

当 $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 替换 $x$ 。

$y = (\frac{1 + \sqrt{13}}{2}) + 3$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 代入 $y = (\frac{1 + \sqrt{13}}{2}) + 3$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} + 3$

解题步骤 1.3.2.2

去掉圆括号。

$y = (\frac{1 + \sqrt{13}}{2}) + 3$

解题步骤 1.3.2.3

化简 $(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}) + 3$ 。

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解题步骤 1.3.2.3.1

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.3.2.3.2

合并分数。

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解题步骤 1.3.2.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.3.2.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{1 + \sqrt{13} + 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.3.2.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.3.2.3.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{1 + \sqrt{13} + 6}{2}$

解题步骤 1.3.2.3.3.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$y = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 1.4

当 $x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ 替换 $x$ 。

$y = (\frac{1 - \sqrt{13}}{2}) + 3$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ 代入 $y = (\frac{1 - \sqrt{13}}{2}) + 3$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} + 3$

解题步骤 1.4.2.2

去掉圆括号。

$y = (\frac{1 - \sqrt{13}}{2}) + 3$

解题步骤 1.4.2.3

化简 $(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}) + 3$ 。

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解题步骤 1.4.2.3.1

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.4.2.3.2

合并分数。

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解题步骤 1.4.2.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.4.2.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{1 - \sqrt{13} + 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.4.2.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.4.2.3.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{1 - \sqrt{13} + 6}{2}$

解题步骤 1.4.2.3.3.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$y = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 1.5

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{7 + \sqrt{13}}{2})$

$(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{7 - \sqrt{13}}{2})$

$(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{7 + \sqrt{13}}{2})$

$(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{7 - \sqrt{13}}{2})$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} x + 3 d x - \int_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} x^{2} d x$

解题步骤 3

用积分求 $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ 和 $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} x + 3 - (x^{2}) d x$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 乘以 $x^{2}$ 。

$\int_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} x + 3 - x^{2} d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} x d x + \int_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} 3 d x + \int_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} - x^{2} d x$

解题步骤 3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} + \int_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} 3 d x + \int_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} - x^{2} d x$

解题步骤 3.5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} + 3 x]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} + \int_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} - x^{2} d x$

解题步骤 3.6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} + 3 x]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} - \int_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} x^{2} d x$

解题步骤 3.7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} + 3 x]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}})$

解题步骤 3.8

化简答案。

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解题步骤 3.8.1

化简。

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解题步骤 3.8.1.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}}$ 和 $3 x]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}})$

解题步骤 3.8.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}})$

解题步骤 3.8.2

代入并化简。

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解题步骤 3.8.2.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ 在 $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 处和在 $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ 处的值。

$(\frac{1}{2} {(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 \frac{1 + \sqrt{13}}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 \frac{1 - \sqrt{13}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}})$

解题步骤 3.8.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 处和在 $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ 处的值。

$(\frac{1}{2} {(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 \frac{1 + \sqrt{13}}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 \frac{1 - \sqrt{13}}{2}) - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3

化简。

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解题步骤 3.8.2.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + \frac{3 (1 + \sqrt{13})}{2} - (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 \frac{1 - \sqrt{13}}{2}) - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.2

要将 $\frac{1}{2} {(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (1 + \sqrt{13})}{2} - (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 \frac{1 - \sqrt{13}}{2}) - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.3

组合 $\frac{1}{2} {(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} {(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{3 (1 + \sqrt{13})}{2} - (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 \frac{1 - \sqrt{13}}{2}) - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{2} {(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} \cdot 2 + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 \frac{1 - \sqrt{13}}{2}) - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{2}{2} {(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 \frac{1 - \sqrt{13}}{2}) - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.2.3.6.1

约去公因数。

解题步骤 3.8.2.3.6.2

重写表达式。

$\frac{1 {(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 \frac{1 - \sqrt{13}}{2}) - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.7

将 ${(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 \frac{1 - \sqrt{13}}{2}) - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.8

组合 $3$ 和 $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ 。

$\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + \frac{3 (1 - \sqrt{13})}{2}) - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.9

要将 $\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (1 - \sqrt{13})}{2}) - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.10

组合 $\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - (\frac{\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{3 (1 - \sqrt{13})}{2}) - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.11

在公分母上合并分子。

$\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - \frac{\frac{1}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} \cdot 2 + 3 (1 - \sqrt{13})}{2} - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.12

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - \frac{\frac{2}{2} {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13})}{2} - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.13

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.2.3.13.1

约去公因数。

解题步骤 3.8.2.3.13.2

重写表达式。

$\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - \frac{1 {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13})}{2} - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.14

将 ${(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13})}{2} - ((\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3})$

解题步骤 3.8.2.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13})}{2} - \frac{{(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13})}{2} - \frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3}}{3}$

解题步骤 3.8.3

化简。

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解题步骤 3.8.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{{(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.8.3.2.1

对 $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{{(1 + \sqrt{13})}^{2}}{2^{2}} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{{(1 + \sqrt{13})}^{2}}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.3

将 ${(1 + \sqrt{13})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{13}) (1 + \sqrt{13})$ 。

$\frac{\frac{(1 + \sqrt{13}) (1 + \sqrt{13})}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{13}) (1 + \sqrt{13})$ 。

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解题步骤 3.8.3.2.4.1

运用分配律。

$\frac{\frac{1 (1 + \sqrt{13}) + \sqrt{13} (1 + \sqrt{13})}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.4.2

运用分配律。

$\frac{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{13} + \sqrt{13} (1 + \sqrt{13})}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.4.3

运用分配律。

$\frac{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 1 + \sqrt{13} \sqrt{13}}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.8.3.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.3.2.5.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1 + 1 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 1 + \sqrt{13} \sqrt{13}}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.5.1.2

将 $\sqrt{13}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1 + \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 1 + \sqrt{13} \sqrt{13}}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.5.1.3

将 $\sqrt{13}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1 + \sqrt{13} + \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.5.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\frac{1 + \sqrt{13} + \sqrt{13} + \sqrt{13 \cdot 13}}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.5.1.5

将 $13$ 乘以 $13$ 。

$\frac{\frac{1 + \sqrt{13} + \sqrt{13} + \sqrt{169}}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.5.1.6

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$\frac{\frac{1 + \sqrt{13} + \sqrt{13} + \sqrt{13^{2}}}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.5.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\frac{1 + \sqrt{13} + \sqrt{13} + 13}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.5.2

将 $1$ 和 $13$ 相加。

$\frac{\frac{14 + \sqrt{13} + \sqrt{13}}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.5.3

将 $\sqrt{13}$ 和 $\sqrt{13}$ 相加。

$\frac{\frac{14 + 2 \sqrt{13}}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.6

约去 $14 + 2 \sqrt{13}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.3.2.6.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot 7 + 2 \sqrt{13}}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.6.2

从 $2 \sqrt{13}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot 7 + 2 (\sqrt{13})}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.6.3

从 $2 \cdot 7 + 2 (\sqrt{13})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot (7 + \sqrt{13})}{4} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.6.4

约去公因数。

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解题步骤 3.8.3.2.6.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot (7 + \sqrt{13})}{2 (2)} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.6.4.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2 \cdot (7 + \sqrt{13})}{2 \cdot 2} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.6.4.3

重写表达式。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 (1 + \sqrt{13}) - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.7

运用分配律。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 \cdot 1 + 3 \sqrt{13} - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - ({(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9

化简每一项。

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解题步骤 3.8.3.2.9.1

对 $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{{(1 - \sqrt{13})}^{2}}{2^{2}} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{{(1 - \sqrt{13})}^{2}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.3

将 ${(1 - \sqrt{13})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{13}) (1 - \sqrt{13})$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{(1 - \sqrt{13}) (1 - \sqrt{13})}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{13}) (1 - \sqrt{13})$ 。

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解题步骤 3.8.3.2.9.4.1

运用分配律。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 (1 - \sqrt{13}) - \sqrt{13} (1 - \sqrt{13})}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.4.2

运用分配律。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} (1 - \sqrt{13})}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.4.3

运用分配律。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 1 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.8.3.2.9.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 + 1 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 1 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.2

将 $- \sqrt{13}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} \cdot 1 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.4

乘以 $- \sqrt{13} (- \sqrt{13})$ 。

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解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} + 1 \sqrt{13} \sqrt{13}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.4.2

将 $\sqrt{13}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.4.3

对 $\sqrt{13}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.4.4

对 $\sqrt{13}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{1 + 1}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{2}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.5

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} + {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} + 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} + 13^{\frac{2}{2}}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.5.4.1

约去公因数。

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} + 13^{1}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.1.5.5

计算指数。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{1 - \sqrt{13} - \sqrt{13} + 13}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.2

将 $1$ 和 $13$ 相加。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{14 - \sqrt{13} - \sqrt{13}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.5.3

从 $- \sqrt{13}$ 中减去 $\sqrt{13}$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{14 - 2 \sqrt{13}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.6

约去 $14 - 2 \sqrt{13}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.3.2.9.6.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{2 (7) - 2 \sqrt{13}}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.6.2

从 $- 2 \sqrt{13}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{2 (7) + 2 (- \sqrt{13})}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.6.3

从 $2 (7) + 2 (- \sqrt{13})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{2 (7 - \sqrt{13})}{4} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.6.4

约去公因数。

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解题步骤 3.8.3.2.9.6.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{2 (7 - \sqrt{13})}{2 \cdot 2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.6.4.2

约去公因数。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{2 (7 - \sqrt{13})}{2 \cdot 2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.6.4.3

重写表达式。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{7 - \sqrt{13}}{2} + 3 (1 - \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.7

运用分配律。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{7 - \sqrt{13}}{2} + 3 \cdot 1 + 3 (- \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{7 - \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 (- \sqrt{13}))}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.9.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{7 - \sqrt{13}}{2} + 3 - 3 \sqrt{13})}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.10

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{7 - \sqrt{13}}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} - 3 \sqrt{13})}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.11

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{7 - \sqrt{13}}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} - 3 \sqrt{13})}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{7 - \sqrt{13} + 3 \cdot 2}{2} - 3 \sqrt{13})}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.13

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{7 - \sqrt{13} + 6}{2} - 3 \sqrt{13})}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.14

将 $7$ 和 $6$ 相加。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{13 - \sqrt{13}}{2} - 3 \sqrt{13})}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.15

要将 $- 3 \sqrt{13}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{13 - \sqrt{13}}{2} - 3 \sqrt{13} \cdot \frac{2}{2})}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.16

组合 $- 3 \sqrt{13}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - (\frac{13 - \sqrt{13}}{2} + \frac{- 3 \sqrt{13} \cdot 2}{2})}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.17

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - \frac{13 - \sqrt{13} - 3 \sqrt{13} \cdot 2}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.18

化简分子。

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解题步骤 3.8.3.2.18.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - \frac{13 - \sqrt{13} - 6 \sqrt{13}}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.2.18.2

从 $- \sqrt{13}$ 中减去 $6 \sqrt{13}$ 。

$\frac{\frac{7 + \sqrt{13}}{2} + 3 + 3 \sqrt{13} - \frac{13 - 7 \sqrt{13}}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{7 + \sqrt{13} - (13 - 7 \sqrt{13})}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.8.3.4.1

运用分配律。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{7 + \sqrt{13} - 1 \cdot 13 - (- 7 \sqrt{13})}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $13$ 。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{7 + \sqrt{13} - 13 - (- 7 \sqrt{13})}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.4.3

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{7 + \sqrt{13} - 13 + 7 \sqrt{13}}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.5

从 $7$ 中减去 $13$ 。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{- 6 + \sqrt{13} + 7 \sqrt{13}}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.6

将 $\sqrt{13}$ 和 $7 \sqrt{13}$ 相加。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{- 6 + 8 \sqrt{13}}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.7

约去 $- 6 + 8 \sqrt{13}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.3.7.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{2 \cdot - 3 + 8 \sqrt{13}}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.7.2

从 $8 \sqrt{13}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{2 \cdot - 3 + 2 (4 \sqrt{13})}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.7.3

从 $2 (- 3) + 2 (4 \sqrt{13})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{2 (- 3 + 4 \sqrt{13})}{2}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.7.4

约去公因数。

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解题步骤 3.8.3.7.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{2 (- 3 + 4 \sqrt{13})}{2 (1)}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.7.4.2

约去公因数。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{2 (- 3 + 4 \sqrt{13})}{2 \cdot 1}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.7.4.3

重写表达式。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} + \frac{- 3 + 4 \sqrt{13}}{1}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.7.4.4

用 $- 3 + 4 \sqrt{13}$ 除以 $1$ 。

$\frac{3 + 3 \sqrt{13} - 3 + 4 \sqrt{13}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.8

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0 + 3 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.9

将 $0$ 和 $3 \sqrt{13}$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.10

将 $3 \sqrt{13}$ 和 $4 \sqrt{13}$ 相加。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- ({(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{3} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11

化简每一项。

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解题步骤 3.8.3.11.1

对 $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{{(1 + \sqrt{13})}^{3}}{2^{3}} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{{(1 + \sqrt{13})}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.3

使用二项式定理。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{13} + 3 \cdot 1 {\sqrt{13}}^{2} + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4

化简每一项。

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解题步骤 3.8.3.11.4.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{13} + 3 \cdot 1 {\sqrt{13}}^{2} + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \cdot 1 \sqrt{13} + 3 \cdot 1 {\sqrt{13}}^{2} + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 1 {\sqrt{13}}^{2} + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 3 {\sqrt{13}}^{2} + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.5

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 3.8.3.11.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 3 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.3.11.4.5.4.1

约去公因数。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.5.4.2

重写表达式。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 13^{1} + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.5.5

计算指数。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 13 + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.6

将 $3$ 乘以 $13$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 39 + {\sqrt{13}}^{3}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.7

将 ${\sqrt{13}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{13^{3}}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 39 + \sqrt{13^{3}}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.8

对 $13$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 39 + \sqrt{2197}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.9

将 $2197$ 重写为 $13^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 3.8.3.11.4.9.1

从 $2197$ 中分解出因数 $169$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 39 + \sqrt{169 (13)}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.9.2

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 39 + \sqrt{13^{2} \cdot 13}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.4.10

从根式下提出各项。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{1 + 3 \sqrt{13} + 39 + 13 \sqrt{13}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.5

将 $1$ 和 $39$ 相加。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{40 + 3 \sqrt{13} + 13 \sqrt{13}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.6

将 $3 \sqrt{13}$ 和 $13 \sqrt{13}$ 相加。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{40 + 16 \sqrt{13}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.7

约去 $40 + 16 \sqrt{13}$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.3.11.7.1

从 $40$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{8 \cdot 5 + 16 \sqrt{13}}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.7.2

从 $16 \sqrt{13}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{8 \cdot 5 + 8 (2 \sqrt{13})}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.7.3

从 $8 (5) + 8 (2 \sqrt{13})$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{8 (5 + 2 \sqrt{13})}{8} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.7.4

约去公因数。

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解题步骤 3.8.3.11.7.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{8 (5 + 2 \sqrt{13})}{8 (1)} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.7.4.2

约去公因数。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{8 (5 + 2 \sqrt{13})}{8 \cdot 1} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.7.4.3

重写表达式。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (\frac{5 + 2 \sqrt{13}}{1} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.7.4.4

用 $5 + 2 \sqrt{13}$ 除以 $1$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{3})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.8

对 $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{{(1 - \sqrt{13})}^{3}}{2^{3}})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.9

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{{(1 - \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.10

使用二项式定理。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- \sqrt{13}) + 3 \cdot 1 {(- \sqrt{13})}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11

化简每一项。

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解题步骤 3.8.3.11.11.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 + 3 \cdot 1^{2} (- \sqrt{13}) + 3 \cdot 1 {(- \sqrt{13})}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 + 3 \cdot 1 (- \sqrt{13}) + 3 \cdot 1 {(- \sqrt{13})}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 + 3 (- \sqrt{13}) + 3 \cdot 1 {(- \sqrt{13})}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 1 {(- \sqrt{13})}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 3 {(- \sqrt{13})}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.6

对 $- \sqrt{13}$ 运用乘积法则。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{13}}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 3 (1 {\sqrt{13}}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.8

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 3 {\sqrt{13}}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.9

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 3.8.3.11.11.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 3 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.3.11.11.9.4.1

约去公因数。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.9.4.2

重写表达式。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 13^{1} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.9.5

计算指数。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 3 \cdot 13 + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.10

将 $3$ 乘以 $13$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 39 + {(- \sqrt{13})}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.11

对 $- \sqrt{13}$ 运用乘积法则。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 39 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{13}}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 39 - {\sqrt{13}}^{3}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.13

将 ${\sqrt{13}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{13^{3}}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 39 - \sqrt{13^{3}}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.14

对 $13$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 39 - \sqrt{2197}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.15

将 $2197$ 重写为 $13^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 3.8.3.11.11.15.1

从 $2197$ 中分解出因数 $169$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 39 - \sqrt{169 (13)}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.15.2

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 39 - \sqrt{13^{2} \cdot 13}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.16

从根式下提出各项。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 39 - (13 \sqrt{13})}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.11.17

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{1 - 3 \sqrt{13} + 39 - 13 \sqrt{13}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.12

将 $1$ 和 $39$ 相加。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{40 - 3 \sqrt{13} - 13 \sqrt{13}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.13

从 $- 3 \sqrt{13}$ 中减去 $13 \sqrt{13}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{40 - 16 \sqrt{13}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.14

约去 $40 - 16 \sqrt{13}$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.3.11.14.1

从 $40$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{8 \cdot 5 - 16 \sqrt{13}}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.14.2

从 $- 16 \sqrt{13}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{8 \cdot 5 + 8 (- 2 \sqrt{13})}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.14.3

从 $8 (5) + 8 (- 2 \sqrt{13})$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{8 (5 - 2 \sqrt{13})}{8})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.14.4

约去公因数。

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解题步骤 3.8.3.11.14.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{8 (5 - 2 \sqrt{13})}{8 (1)})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.14.4.2

约去公因数。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{8 (5 - 2 \sqrt{13})}{8 \cdot 1})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.14.4.3

重写表达式。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - \frac{5 - 2 \sqrt{13}}{1})}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.14.4.4

用 $5 - 2 \sqrt{13}$ 除以 $1$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - (5 - 2 \sqrt{13}))}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.15

运用分配律。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - 1 \cdot 5 - (- 2 \sqrt{13}))}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.16

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - 5 - (- 2 \sqrt{13}))}{3}$

解题步骤 3.8.3.11.17

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (5 + 2 \sqrt{13} - 5 + 2 \sqrt{13})}{3}$

解题步骤 3.8.3.12

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (0 + 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{13})}{3}$

解题步骤 3.8.3.13

将 $0$ 和 $2 \sqrt{13}$ 相加。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{13})}{3}$

解题步骤 3.8.3.14

将 $2 \sqrt{13}$ 和 $2 \sqrt{13}$ 相加。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- (4 \sqrt{13})}{3}$

解题步骤 3.8.3.15

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} + \frac{- 4 \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 3.8.3.16

将负号移到分数的前面。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} - \frac{4 \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 3.8.3.17

要将 $\frac{7 \sqrt{13}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 3.8.3.18

要将 $- \frac{4 \sqrt{13}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13}}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \sqrt{13}}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.8.3.19

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.8.3.19.1

将 $\frac{7 \sqrt{13}}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13} \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{13}}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.8.3.19.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{7 \sqrt{13} \cdot 3}{6} - \frac{4 \sqrt{13}}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.8.3.19.3

将 $\frac{4 \sqrt{13}}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{7 \sqrt{13} \cdot 3}{6} - \frac{4 \sqrt{13} \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.8.3.19.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7 \sqrt{13} \cdot 3}{6} - \frac{4 \sqrt{13} \cdot 2}{6}$

解题步骤 3.8.3.20

在公分母上合并分子。

$\frac{7 \sqrt{13} \cdot 3 - 4 \sqrt{13} \cdot 2}{6}$

解题步骤 3.8.3.21

化简分子。

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解题步骤 3.8.3.21.1

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{21 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} \cdot 2}{6}$

解题步骤 3.8.3.21.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{21 \sqrt{13} - 8 \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 3.8.3.21.3

从 $21 \sqrt{13}$ 中减去 $8 \sqrt{13}$ 。

$\frac{13 \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{13 \sqrt{13}}{6}$

小数形式：

$7.81202776 \dots$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例