微积分学示例

$y = \frac{7 x}{x - 3}$ , $(6, 14)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 6$ 和 $y = 14$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7 x}{x - 3}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$7 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $x - 3$ 乘以 $1$ 。

$7 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$7 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

化简项。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$7 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$7 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.4.1

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$7 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.4.2

将负号移到分数的前面。

$7 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

解题步骤 1.3.6.4.3

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- 7 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.5

组合 $- 7$ 和 $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{- 7 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.6.1

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 21}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{21}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 6$ 处的导数。

$- \frac{21}{{((6) - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简分母。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{21}{3^{2}}$

解题步骤 1.5.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{21}{9}$

解题步骤 1.5.2

约去 $21$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $21$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (7)}{9}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{7}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{7}{3}$ 和给定点 $(6, 14)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (14) = - \frac{7}{3} \cdot (x - (6))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 14 = - \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 14 = 0 + 0 - \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$

解题步骤 2.3.1.2

化简项。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$y - 14 = - \frac{7}{3} x - \frac{7}{3} \cdot - 6$

解题步骤 2.3.1.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{7}{3}$ 。

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} - \frac{7}{3} \cdot - 6$

解题步骤 2.3.1.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.3.1

将 $- \frac{7}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot - 6$

解题步骤 2.3.1.2.3.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot (3 (- 2))$

解题步骤 2.3.1.2.3.3

约去公因数。

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

解题步骤 2.3.1.2.3.4

重写表达式。

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} - 7 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.2.4

将 $- 7$ 乘以 $- 2$ 。

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + 14$

解题步骤 2.3.1.3

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - 14 = - \frac{7 x}{3} + 14$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $14$ 。

$y = - \frac{7 x}{3} + 14 + 14$

解题步骤 2.3.2.2

将 $14$ 和 $14$ 相加。

$y = - \frac{7 x}{3} + 28$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{7}{3} x) + 28$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{7}{3} x + 28$

解题步骤 3

微积分学 示例

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