微积分学示例

$\ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$

解题步骤 1

求 $y = \ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} > 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${(x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2

化简不等式的两边。

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解题步骤 1.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 重写成 ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

化简 ${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1.1

运用分配律。

${(x {(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.2

运用分配律。

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.3

运用分配律。

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.2.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.2.1.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

${(x {(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

${(x {(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

${(x {(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

${(x {(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${(x {(x^{2} - x + x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

${(x {(x^{2} + 0 - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.3

对 $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.4

将 ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.4.2.1

约去公因数。

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.4.2.2

重写表达式。

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{1} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.5

化简。

$x^{2} (x^{2} - 1) > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.6

运用分配律。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.7.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.8

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{4} - 1 \cdot x^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.9

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$x^{4} - x^{2} > 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{4} - x^{2} > 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

把不等式转换成方程。

$x^{4} - x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.3.2.1

从 $x^{4} - x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} - x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.2.3.2.1.3

从 $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.3.2.3

因数。

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解题步骤 1.2.3.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 1.2.3.2.3.2

去掉多余的括号。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.3.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.3.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.2.3.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.2.3.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.2.3.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.3.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.3.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.3.6

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.6.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.3.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.3.7

最终解为使 $x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1, 1$

解题步骤 1.2.4

求 $x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 的定义域。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.4.2.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.4.2.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4.2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.4.2.4

最终解为使 $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1$

解题步骤 1.2.4.2.5

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

解题步骤 1.2.4.2.6

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 1.2.4.2.6.1

检验区间 $x < - 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.4.2.6.1.1

选择区间 $x < - 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

解题步骤 1.2.4.2.6.1.2

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

解题步骤 1.2.4.2.6.1.3

左边的 $15$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 1.2.4.2.6.2

检验区间 $- 1 < x < 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.4.2.6.2.1

选择区间 $- 1 < x < 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 1.2.4.2.6.2.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

解题步骤 1.2.4.2.6.2.3

左边的 $- 1$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 1.2.4.2.6.3

检验区间 $x > 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.4.2.6.3.1

选择区间 $x > 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 1.2.4.2.6.3.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

解题步骤 1.2.4.2.6.3.3

左边的 $15$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 1.2.4.2.6.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 1$ 为假

$x > 1$ 为真

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 1$ 为假

$x > 1$ 为真

解题步骤 1.2.4.2.7

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq - 1$ 或 $x \geq 1$

解题步骤 1.2.4.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

解题步骤 1.2.5

解由使等式成立的所有区间组成。

$x > 1$

解题步骤 1.3

将 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.4.2

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.4.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.4.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.4.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.4.4

最终解为使 $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1$

解题步骤 1.4.5

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

解题步骤 1.4.6

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 1.4.6.1

检验区间 $x < - 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.4.6.1.1

选择区间 $x < - 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

解题步骤 1.4.6.1.2

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.3

左边的 $15$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 1.4.6.2

检验区间 $- 1 < x < 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.4.6.2.1

选择区间 $- 1 < x < 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 1.4.6.2.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

解题步骤 1.4.6.2.3

左边的 $- 1$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 1.4.6.3

检验区间 $x > 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.4.6.3.1

选择区间 $x > 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 1.4.6.3.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

解题步骤 1.4.6.3.3

左边的 $15$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 1.4.6.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 1$ 为假

$x > 1$ 为真

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 1$ 为假

$x > 1$ 为真

解题步骤 1.4.7

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq - 1$ 或 $x \geq 1$

解题步骤 1.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(1, \infty)$

集合符号：

${x | x > 1}$

区间计数法：

$(1, \infty)$

集合符号：

${x | x > 1}$

解题步骤 2

要求根式端点，请将 $x$ 值 $1$ 代入 $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \ln ((1) \sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

解题步骤 2.2

将 $\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)}$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \ln (\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

解题步骤 2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \ln (\sqrt{2 (1 - 1)})$

解题步骤 2.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = \ln (\sqrt{2 \cdot 0})$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = \ln (\sqrt{0})$

解题步骤 2.6

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

解题步骤 2.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (1) = \ln (0)$

解题步骤 2.8

零的自然对数无定义。

$f (1) = Undefined$

无定义

解题步骤 3

根式表达式的端点为 $(1, Undefined)$ 。

$(1, Undefined)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ 。在本例中，该点为 $(2, \ln (2 \sqrt{3}))$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \ln ((2) \sqrt{((2) + 1) ((2) - 1)})$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 (2 - 1)})$

解题步骤 4.1.2.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 \cdot 1})$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3})$

解题步骤 4.1.2.4

最终答案为 $\ln (2 \sqrt{3})$ 。

$y = \ln (2 \sqrt{3})$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $3$ 代入 $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ 。在本例中，该点为 $(3, \ln (6 \sqrt{2}))$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \ln ((3) \sqrt{((3) + 1) ((3) - 1)})$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (3 - 1)})$

解题步骤 4.2.2.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 \cdot 2})$

解题步骤 4.2.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (3) = \ln (3 \sqrt{8})$

解题步骤 4.2.2.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.2.2.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (2)})$

解题步骤 4.2.2.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (3) = \ln (3 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

解题步骤 4.2.2.5

从根式下提出各项。

$f (3) = \ln (3 (2 \sqrt{2}))$

解题步骤 4.2.2.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = \ln (6 \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.2.7

最终答案为 $\ln (6 \sqrt{2})$ 。

$y = \ln (6 \sqrt{2})$

解题步骤 4.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(1, Undefined), (2, 1.24), (3, 2.14)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 1.24 \\ 3 & 2.14 \end{array}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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