微积分学示例

$x = \sqrt[6]{x}$

解题步骤 1

因为根式位于方程的右边，所以要交换两边以便使其位于方程的左边。

$\sqrt[6]{x} = x$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\sqrt[6]{x} - x = 0$

解题步骤 3

对 $\sqrt[6]{x} - x$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[6]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

$x^{\frac{1}{6}} - x = 0$

解题步骤 3.2

从 $x^{\frac{1}{6}} - x$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

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解题步骤 3.2.1

乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 - x = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}}) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

$x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$

解题步骤 5

将 $x^{\frac{1}{6}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x^{\frac{1}{6}}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{6}} = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

将方程两边同时进行 $6$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = 0^{6}$

解题步骤 5.2.2

化简指数。

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解题步骤 5.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

解题步骤 5.2.2.1.1.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

解题步骤 5.2.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{6}$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

化简。

$x = 0^{6}$

解题步骤 5.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

将 $1 - x^{\frac{5}{6}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $1 - x^{\frac{5}{6}}$ 设为等于 $0$ 。

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{\frac{5}{6}} = - 1$

解题步骤 6.2.2

将方程两边同时进行 $\frac{6}{5}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3

化简指数。

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解题步骤 6.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.3.1.1

化简 ${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1.1

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1.1.1.1

对 $- x^{\frac{5}{6}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{5}$ 。

${({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1.2.1

约去公因数。

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.2.2

重写表达式。

${(- 1)}^{6} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1.1.3.1

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$1 {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3.2

将 ${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ 乘以 $1$ 。

${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3.3

将 ${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.3.1.1.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1.3.3.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3.3.2.2

重写表达式。

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3.3.3

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1.3.3.3.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.3.3.3.2

重写表达式。

$x^{1} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.1.1.4

化简。

$x = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.2.1

化简 ${(- 1)}^{\frac{6}{5}}$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.2.1.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{5}$ 。

$x = {({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 6.2.3.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

解题步骤 6.2.3.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1.2.1

约去公因数。

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

解题步骤 6.2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$x = {(- 1)}^{6}$

解题步骤 6.2.3.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$x = 1$

解题步骤 7

最终解为使 $x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1$

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