微积分学示例

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

解题步骤 2

组合 $2$ 和 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

解题步骤 3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8

合并分数。

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解题步骤 4.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8.3

将 $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5

通过指数相加将 $x - 1$ 乘以 ${(x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x - 1$ 乘以 ${(x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + 2) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.3.2

合并 $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ 中相反的项。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.3.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.3.4

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{(2 x + 2) \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.3.5

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.3.6

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.3.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 4 x - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.4

从 $- 4 x - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x) - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.4.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.4.3

从 $4 (- x) + 4 (- 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.5

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (x) - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.6

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{4 (- (x) - 1 (1))}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.7

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.8

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

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