微积分学示例

$\frac{x^{2} - 6 x + 12}{x - 4}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 6 x + 12$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

$\frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 12] - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 6 x + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$\frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 + 0) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.10

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.11

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (2 x - 6)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (2 x - 6) - 4 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.3

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 8 x - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.5

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 8 x + 24 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

从 $- 6 x$ 中减去 $8 x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} + 6 x - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 14 x + 24 + 6 x - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $- 14 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{x^{2} - 8 x + 24 - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

从 $24$ 中减去 $12$ 。

$\frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 8 x + 12$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $- 8$ 。

$- 6, - 2$

解题步骤 3.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例