微积分学示例

$e^{3 \ln (x^{2})}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 \ln (x^{2})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 \ln (x^{2})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

解题步骤 1.3

使用 $3 \ln (x^{2})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{3 \ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

解题步骤 2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \ln (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ 。

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 3.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $3$ 。

$e^{3 \ln (x^{2})} (\frac{3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{3}{x^{2}}$ 和 $e^{3 \ln (x^{2})}$ 。

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} (2 x)$

解题步骤 4.4

化简项。

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解题步骤 4.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 (3 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}} x$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} x$

解题步骤 4.4.3

组合 $\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})} x}{x^{2}}$

解题步骤 4.4.4

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.4.1

从 $6 e^{3 \ln (x^{2})} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}}$

解题步骤 4.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

解题步骤 4.4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

解题步骤 4.4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (x^{2})$ 。

$\frac{6 e^{\ln ({(x^{2})}^{3})}}{x}$

解题步骤 5.1.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{6 {(x^{2})}^{3}}{x}$

解题步骤 5.1.3

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{6 x^{2 \cdot 3}}{x}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{6}}{x}$

解题步骤 5.2

约去 $x^{6}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $6 x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (6 x^{5})}{x}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (6 x^{5})}{x^{1}}$

解题步骤 5.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2.3

约去公因数。

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2.4

重写表达式。

$\frac{6 x^{5}}{1}$

解题步骤 5.2.2.5

用 $6 x^{5}$ 除以 $1$ 。

$6 x^{5}$

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