微积分学示例

$x \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ 。

$x \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{- 2} x^{1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{- 2 + 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$x^{- 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.2

将 $- 1$ 移到 $\cos (\frac{1}{x})$ 的左侧。

$x^{- 1} (- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.3

将 $- 1 \cos (\frac{1}{x})$ 重写为 $- \cos (\frac{1}{x})$ 。

$x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \cdot 1$

解题步骤 8

将 $\sin (\frac{1}{x})$ 乘以 $1$ 。

$x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\cos (\frac{1}{x})$ 。

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x} + \sin (\frac{1}{x})$

微积分学 示例

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