微积分学示例

$2 x \ln (8 x) + x$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 x \ln (8 x) + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \ln (8 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (8 x)$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (8 x)] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x$ 。

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{1}{8 x}$ 和 $8$ 。

$2 (x \frac{8}{8 x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.9

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1

约去公因数。

$2 (x \frac{8}{8 x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.9.2

重写表达式。

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.11

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.11.1

约去公因数。

$2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.11.2

重写表达式。

$2 (1 + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.12

将 $\ln (8 x)$ 乘以 $1$ 。

$2 (1 + \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (1 + \ln (8 x)) + 1$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 \cdot 1 + 2 \ln (8 x) + 1$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 \ln (8 x) + 1$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \ln (8 x) + 3$

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