微积分学示例

$y = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3} + 8$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 8] - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 2) (3 x^{2}) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $3$ 移到 $x + 2$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(3 x + 3 \cdot 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从 $3 x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5

从 $2 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{3}) + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4

从 $2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.5

从 $2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例