微积分学示例

$\tan (\ln (a x + b))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = \tan (a)$ 且 $g (a) = \ln (a x + b)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (a x + b)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

解题步骤 1.2

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

解题步骤 1.3

使用 $\ln (a x + b)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = \ln (a)$ 且 $g (a) = a x + b$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $a x + b$ 。

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d a} [a x + b])$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d a} [a x + b])$

解题步骤 2.3

使用 $a x + b$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{a x + b}$ 和 $\sec^{2} (\ln (a x + b))$ 。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $a x + b$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b]$ 。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b])$

解题步骤 3.3

因为 $x$ 对于 $a$ 是常数，所以 $a x$ 对 $a$ 的导数是 $x \frac{d}{d a} [a]$ 。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b])$

解题步骤 3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + \frac{d}{d a} [b])$

解题步骤 3.6

因为 $b$ 对于 $a$ 是常数，所以 $b$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + 0)$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} x$

解题步骤 3.7.2

组合 $\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$ 和 $x$ 。

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b)) x}{a x + b}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\sec^{2} (\ln (a x + b)) x$ 中的因式重新排序。

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$

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